Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если необдодимо найти определитель л-го порядка, по одному из свойств определителей его сводят к (п— 1)-у, разложив по элементам любой (і'-й) строки по формуле
D -- алАц + ааАіг± - - . 4-а,пА„, (5&7)
где Ain — алгебраические дополнения элемента строки сщ-Так, для (581)
D - \аи\ An + \аЬ\Ап+\ас\ A13, (588)
НЛП
D - [аа]
[bb] \Ьс\ \Ьс) \сс)
-[ab\
\ab\ [be] [ас] \сс]
і \йс]
(589)
lab] \ЬЬ] \ас[ [Ъс\
An, A12, A13 в данном случае в'формуле (589) получены по общей формуле минора соответствующего алгебраического дополнения
.4,,. =(-1,"'
, , й
It ПК
- C-D
її H- й. - - Q
1-1,1 I -Ul - I 1¦1,/•I ( - 1. и
а а й. . - й
"і* 1,1 ih,/-1 1+1,/+1 !* 1. л
(540)
Как известно из алгебры, минором элемента я,/ называется определитель (п—1) порядка, составленный после зачеркивания в данном определителе порядка п і'-й строки и /-го столбца.
Из (590) для формул (588) и (589) следует:
¦4,1 = (-01
лп = <-(Г
Ь] {bb] [be] [be] \сс)
[ab] {bb} [b
[Wl [b(] \Ьс) (,-с)
\ab) [he] [ас] [cc]
[ab] [bb]
= (6ft[ [«¦] [Uf]
= -[a/.]l«]+ МІМ. Г (591)
§ 62. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПАРАМЕТРОВ, ПОЛУЧЕННЫХ ИЗ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
На основании доказательств, содержащихся в книге [23, стр. 267], для системы (565) в принятых обозначениях можем записать:
т,=--т
т., — т
ITl1-TTl
¦"її D
D
(592)
Здесь тх, ту, тг — средние квадр этические ошибки параметров х, у, г;
т —
V —
V п — 1
(592')
— средняя квадратическая ошибка, характеризующая точность измерений функции (539); A11, A22, A33 ~ алгебраические дополнения первого, второго и третьего диагональных элементов; D — определитель системы.
На основании обозначений (592), принимая при вычислении весов найденных параметров с = т2, получим
D \D D ,сп„,
P* = —. Py'-—* Pz---7—- (593)
¦4H /І22 л за
Сделаем замечания к формуле (592'). Эта формула записана здесь на основании вывода формулы Весселя для равноточных измерений. Как указывалось ранее, в формуле Бесселя (409) под квадратным корнем в знаменателе (п—1) есть избыточное число измерений; для случая, когда измеряется одна величина, как это было в том случае (см. § 39), число определяемых (необходимых) величин равнялось единице. В данном случае определяется k параметров х, у, г, . . . , t. Следовательно, число избыточных измерений в этом случае есть п—k. С учетом этих соображений и записана формула (592'). Для определения т по формуле (592') необходимо получить [vv] для равноточных и [pvv] — для неравноточных измерений.
Запишем уравнения поправок
Vt=OiX+ Ь,-у-{-C(Z4- . . . +git-гIi (548)
Vi = afix-\-bfiy+ct6z+ . . . +gibt+h. (562)
На основании уравнений (548) и (562), умножая левую и правую их части на столбец vt, легко получить
[vv] = \av]х-і- [bv\у+[cv\z+ . . . + [gv]t+[lv], \
[vv] = [av]Sx-f-[bv]c)y±[cv]bz V- , - . + [gv]6t + [lv]. ] ( '
На основании (552) для обоих уравнений системы (594) имеем
[w) = \lv], (595)
Значит, вычислив поправки Vi непосредственно путем подстановки найденных параметров х, у, г, .... t или Sx, 8у, 6z, . . . , tit в формулу (548) или (562) соответственно, можно сумму [vv] также получить непосредственно и определение этой важной суммы проконтролировать по формуле (595). Совпадение [vv]jz [Iv] в пределах 3—5 % от [vv] считается вполне удовлетворительным. ;
Нетрудно доказать, что в случае решения уравнений по способу Гаусса существует контрольное равенство для [vv]
H - [lv] = [SU] - [Uk] = [tsk) = [ssk], (596)
если при составлении коэффициентов нормальных уравнении осуществлялся контроль
[ас]+ [ObH-(Oc]-L- . . . +|ag|+ia/] = (a5]
lab] + [bb}+[bc]t- . . . +\bg\ + [H)= [bs)
[ас]+ {be]+ ice] - . . . +leg]+[el] -[cs]
lag] Hbg\ + [eg]+ ¦ . - --1«SH-IgI]=ISS] [al]+[bl] + [ct] + . . . + IgL)+ [U]-^iIs]
[as] + l&s] + Irs]
¦Jgs] + l/s]--IssJ
(597)
Составление коэффициентов уравнений поправок в формулах <548) и (562) в свою очередь контролировалось по формуле
1а] + {Ь] + [с]+ . . . +IgJ+ IH = [S]. (598)
В этом случае система контрольных сумм коэффициентов эквивалентных уравнений при решении системы нормальных уравнений с коэффициентами (597) имеет вид (см. формулу 577)
[аа] + ]ab] -f [ЬЫ]-
]ас) + l-lbclj. \еЛ\ -
\ag) I-Ja/)-Jas], Hfcgl]+IbIl]-IbSl]1 + Irg2] + [d2] = [cs2],
[gg(A-I)H-IgI (A-I)J = IgS(A-[Uk[^ [lsk\, {lsk\=[ssk\.
dj.1
(599)
Вернемся к контрольной сумме (59й). Умножим систему (548) на столбец U и, суммируя по столбцам, получим
Uv] = [Ql]X+ [Ы]у+ [с1]г+ . . . + [gl] t+ [11]. (600) В то же время на основании выражения (577) можем записать
1и_г_ . [Qg| t И| \аа) и [аа] ' ' ' [аа] [аа]
Jfrcli , (?!] , [«I]
]ЬІЇ)
lab]
х =--—-^ и-
У =
г —
[ш]
І8І (*-!)]
(601)
[SK (*-1)1
Если из формулы (600) последовательно методом Гаусса исключить асе неизвестные, получим
[Iv) = [Uk). (602)
