Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[ЬЫ] [ЬЫ]
\fic\]]bc
[сс1]г+]сЩ=0. (571)
[Ьс1] [Ы1] [Wl]
-[с/2].
Уравнение (571) с учетом (572) примет вид
N3 |а'2]г + ]с/2]-=0; [сЩ
Z= —
[сс2]
(572)
(573) (574)
Соберем в систему N1 из уравнений (565), N]1 из уравнений (569) и jV3 из уравнений (573)
[да] х + [ab\y-\- [ас] z + [al] = 0,
[ЬЫ\у г[Ьс\\г+ IbIl] = Q. (575)
\сс2]г^-[с12]-0.
Получили так называемую систему эквивалентны х уравнений (эквивалентный — равнозначный, равноценный).
Соберем в систему значения %. и, г из выражений (566), (570) и (574)
]аЬ] [ас] [at]
х— —
[аа]
у —
[ас]
у---—--г —
[аа]
IbCl] [ЬЫ]
Z — —
W]
Ш]
[сЩ
[сс2]
(576)
Систему (576) называют системой злииинациои ных уравнений (элиминировать — исключать, устранять).
Выражения [ЬЫ], [bell [bll], [сс2], [с 12] в (575) называют алгоритмами Гаусса.
§ 60. ПРАВИЛО РАСКРЫТИЯ АЛГОРИТМА ГАУССА
На основании выражений (568) и (572) нетрудно сформулировать общее (сокращенное) правило раскрытия алгоритма Гаусса, а именно: раскрываемый алгоритм равен разности уменьшаемого,
буквенные символы которого те же, что и у раскрываемого, с числовым символом на единицу меньше, чем у раскрываемого, и вычитаемого, представляющего дробь, в знаменателе которой коэффициент при исключенном неизвестном, а в числителе — произведение двух алгоритмов, буквенные символы которых составлены путем попарного соединения букв уменьшаемого и знаменателя дроби с тем же (что и в знаменателе) числовым символом.
Правило составления системы эквивалентных уравнений (575) и раскрытия алгоритма Гаусса легко распространить на общий случай, т. е. когда число уравнений в системе не 3, как в системе (565), а і. В самом деле
\аа]х ¦]-\ab]у+\ас]г + . . . -)¦ \ag] t + \al] —О, [ЬЫ] у+[bcl]zл- . . . + \bg\]t +[ЫЦ^-О, [сс2\г+ . . . +[cg2] t+[ct2] = 0,
[gg(k-\)]t + lgl(k-l)] = 0,
(577)
tgg(ft-l)]-№(*-2)]-^№-?"^,"2)r • (578)
in (к — I
Пользуясь сформулированным выше сокращенным правилом раскрытия алгоритма Гаусса и последовательно применяя указанное правило для раскрытия алгоритма [gg (k—2)), в конечном счете получаем
іем >\ їжі Іаа] [Ш] [ff(k-2)\ к '
По аналогии с выражением (578') для любого алгоритма [Isk] имеем
[)st|4Js]-HH_ [Wl] [fall._
[аа] [ЬЫ]
Ш (U-I)HgS(A-Q] {579)
[№(*-!)]
На основании выражений (578') и (579) сформулируем полное правило раскрытия алгоритма Гаусса: раскрываемый алгоритм равен разности уменьшаемого, буквенные символы которого те же, что и у раскрываемого, а числовой символ отсутствует (равен нулю), и вычитаемого, составленного из дробей, число которых равно числовому символу раскрываемого алгоритма: знаменатели дробей — коэффициенты при исключенных неизвестных, а числители — произведения двух алгоритмов, буквенные символы которых составлены путем попарного соединения букв соответствующего знаменателя и уменьшаемого с теми же (что в знаменателе) числовыми символами.
* В уравнении (5481 коэффициент при предпоследнем неизвестном —. gf
§ 61. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ^ОПРЕДЕЛИТЕЛЁЙ (ДЕТЕРМИНАНТОВ) .
Если система нормальных уравнений не выше 4-го порядка (четыре уравнений, четыре неизвестных), то весьма удобным способом ее решения является способ определителей. При числе уравнений в системе больше четырех прямое вычисление определителей является громоздкой задачей. При выравнивании опытных данных наиболее распространенными являются случаи определения от 2 до 4 параметров, поэтому рассмотрим удобный при этом способ решения системы нормальных уравнений с помощью определителей на примере решений системы (565). Из алгебры известно, что если определитель системы D Ф О, то система определенная, и по Крамеру ее неизвестные выражаются формулами
XJVJL, у=-^, z--=-^. W
где D — определитель системы; D11 Dy, Dz — определители соответствующих неизвестных.
В формулах (580), как известно,
\аа\
\ab\
\ac]
D=.
[ab)
№
IM
(581)
\ас\
\Ьс)
jtc]
[all
lab]
IM
D1 = -
IWl
[bb)
[be]
(582)
[Cl]
[be]
\cc]
W
lal)
[ac[
[ab[
[Ы\
(M
(.58:3)
[ас]
\cl]
[CC)
[аа]
\ab]
lal)
D1 = -
\аЬ)
[bb)
IM
(584)
[ас]
[be]
|f/]
Из сравнения формул (581), (582), (583), (584) видно, что D1, Dy, D1 составляются заменой в определителе системы D соответствующего номеру неизвестного столбца столбцом свободных членов нормальных уравнений и переменой знака «+» на «—».
Правило вычисления определителя 2-го порядка выражается формулой |7, стр. 240)
п -
(585)
Для определителя 3-го порядка по «правилу Саррюса» имеем
^н^Ы. >й^>гт
(586)
Как видим из формулы (586), кправило Саррюса» состоит в том, что при вычислении определителя 3-го порядка к нему приписывается два первых столбца и далее обычным путем определитель представляется как алгебраическая сумма произведений его элементов, составленных по соответствующим диагоналям (сверху вниз все со знаком «+» и снизу вверх все со знаком *—»).
