Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
п>к.
Составим систему уравнений ошибок
u[-fM, Y,Z.....T)=Ai («-I, 2____, л), (541)
из которой видно, что условие (540) вызывается наличием ошибок измерений в и,, равных Д;, которые, естественно, неизвестны, как и неизвестны точные значения параметров X, У, Z, ... , Г, хотя точная связь их с функцией выражаемая формулой (539), в большинстве случаев известна (или выбрана) заранее. Значит, нам ничего не остается, как в уравнениях ошибок заменить неизвестные точные значения параметров X, Y, Z, . . . , T наиболее надежными значениями их х, у, г, . , . , t, которые попытаемся найти на основании измерений и] (i = 1, 2, ... , п), п>к. Составим также систему уравнений поправок
/,{X, у, г.....f)-u't--vi (i = \, 2,. . ., n). (542)
При: 1) п<? — задача неопределенная;
2) п ¦= k — задача решается любым из методов алгебры в предположении, что ошибки измерений отсутствуют или прене-брегаемо малы, что исключено.
Избыточное число измерений, равное (п—к), приводит к (я—к) независимых решений системы (542) с (п—к) ответами.
Таким образом, кроме вышеперечисленных условий отыскания параметров (см. § 54), необходимо подобрать такой метод решения возникшей задачи, чтобы были устранены все внутренние противоречия в системе (542), вызываемые наличием ошибок измерений в значениях и'.г и чтобы решение системы (542) было единственное (однозначное).
В § 36 был обоснован принцип наименьших квадратов (375), решение задачи под условием которого приводит к отысканию наиболее надежного значения окончательного результата.
Исходя из этого, решим систему (542) под условием
o = Irja] = min, (375)
т. е. пока для случая равноточных измерений. Найдем частные производные для системы (542) по каждому из переменных и приравняем их к нулю; под условием равенства нулю производных найдем х, у, .»,..., t, которые и будут наиболее надежными значе-
ниями неизвестных. Итак:
да
+ 2?
дх
5*
да
- 2D1
+ 2?
йо-
dvj
+ 2?
ді
dt
-2vn ^0.=0.
или
^ J
0,
О,
JfL
= 0.
(544)
Систему (544) назовем системой нормальных уравнений в общем виде.
Обратим внимание на то. что в системе (544) число уравнений равно числу неизвестных.
§ 56. ВЫВОД НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть система уравнений (539) имеет линейный вид, т. е.
m^atX + biY + CiZ+ . . . +giT + Ті (i = l 2.....л), (545)
где п — свободный член; a,-, bi, с,-, . . . , gt — точные коэффициента.
Запишем уравнение поправок (542) для системы (545) а(х + ЬіУ +с?+ ¦ . . +g./fr.-u: = a {1=1, 2, 3,. . ., «). (546) где
г—I=I1 (547)
— свободные члены уравнений поправок; в геодезии это, как правило, величины, противоположные невязкам (невязка — разность измеренного и теоретического значений функции (539).
С учетом (547) перепишем уравнение (546)
atx + bjy + Ci2+ . . . -Vg1(^i1=Uj (І-Л.2, 3,. . ., «І ^548)
— это уравнение поправок для линейной функции.
Для связи (548) и (544) найдем:
дх
= at.
=¦- bi,
dvi
dt
(1 = 1,2.....п).
Раскроем уравнения (544) с учетом (546) и (549), для чего систему (548) последовательно умножим на столбцы a,, bi, Ci,.,., gi и сложим полученные результаты по столбцам, т. е.
\gi\. . .\C{\\bi\\at\ aix + biy + dz^ . . . +gtt + l{=vt {i-K 2,. . ., я);
имеем
N1 [аа] х + [ab] у -\- [ас] г + . . . 4- \ag\t + Ia/] - [ао] = О, N2 \аЬ\х + [bb)у + [Ьс]г+ . , . + [bg]t + [Ы\ = [bv] = О, N& [ас\ х+ [be] у+ [сс] z+ . . , 4 [eg] t+[cl] = [cv] =0,
Nk [ag\x + [bg]y^[cg]z + . . . +[gg]tA: [gl] = [gv] = 0.
(550)
(551)
Система (551) носит название системы нормальных уравнений и обладает рядом свойств, а именно:
1) по диагонали системы расположены члены с квадратичными коэффициентами [aa), [bb], . . . , [ggh
2) симметрично относительно диагонали в системе (551) располагаются члены с идентичными коэффициентами;
3) в правой части системы (551) нули. Система
[см] =0, [bv\ = 0,
[gv] = 0
(552)
называется системой нормальных уравнении 'в свернутом виде.
§ 57. ВЫВОД НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В случае неравноточных измерений имеем Wp и'.,, . ... и'п,
Pr Pl.....Pn
V-L 2.....п),
где u'i — результаты измерений, pi — веса измерений. В соответствии с условием (454)
г =- )риг] -- miri. (454)
Решая систему (542) под условием (454), по аналогии с предыдущим легко получить:
dv 1 п
pv
= 0,
ри
dt
-0,
(553)
[JMt-I - 0, }pbv) - D,
[pgv}-0,
[paa]x4-[pab]y + [рос|г + . . . \pab]x + [pbb]y + [pbc]< + . . [рас] x+\pbc] у + [рсс] z + . .
(554)
|/wg]*-r \pal\ =0, Iptg] lpd|= ,
55 5)
\pag\x+\pbg\y-\-\pcg]z-\ . . . +\pgg}t+\pgl] = 0, ,
где (553) — система нормальных уравнений в общем виде для случая неравноточных измерений; (554) — система нормальных уравнении в свернутом виде для случая неравноточных измерений; (555) — система нормальных уравнений (в а конкретном виае») для случая неравноточных измерений.
