Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Л.2 .
D
(J11=OJSW(^11= + 2.266207); Q:i = 0.5860 (.4Ї2 = +7): Q12= +0,16573 (Л1Я= + 1,9796);
(Контроль на ЭВМ «Наври-?,, = 0,1897,; ?„- 0.5860.,; Qj2= + + 0,16573,).
Поправки f? = Ig а + Ъ Ig v,—Ig Р; и І вычислим б табл. Z%. Ig а = = +0,540302; b = — J ,066268.
Оценим точность параметров Ig a, b и функции Ig P1- = Ig а + b Ie Vj по результатам, помещенным в первой строке табл, 38 Итак,
mh - т vfe ^ 9,0-10-4.
-0,8 '0,4 о (щи)
c)h 1—г
I
(...)
іде f, ^ + К J2 - + 0,523, т е.
~—-- 0,Ш7 +0,1603 (-0,1734 ..= Пир,
= 0,523, (контроль на ЭВМ «Наирн-- К» : 0,523-,(,).
т,я Р] = .к
I
=- 8,5 [0
Таблица 38
і*
і Ь (г Y1
1 1Y
+ 0,240302
-0.557658 -0 226262 -0 0Ь6748 -0.388335 -0.615663 -0.820813 -1.003145
+0.3170 -0.0145 -0 30GS -0.6281 —0 S55I -1 0599 — 1 2455
—3,56;,. 10-1
— 4,IiB1
+ 2,50,
+ 5,36,
+8,KS1 + 12,1? -20.0,?
12,7-10-" 21. а Ь.Ч 28.Я 74,8 !47.6 402,1
' = |а| = +0,46-10-»; = 692,3- Ю-8 (fie] * = [lg v-vl = +1,6- І0-а;
'=V j^^ip-^ =1,18-10-'. (Контроль [И на ЭВМ «Наири-К»
|i'o] - 7.12-10"*.)
Нормальные уравнения в свернутой виде.
2IV}
Дополнительные пояснений к примерам
Как отмечалось выше, все вычисления в приведенных в § 67 примерах проверены на ЭВМ «Наири-К». Алгоритмы для указанных вычислений составлены на основе матричного способа. Покажем его применение на примере выравнивания функции
P1 = UV*. (654)
Приведем связь (654) к линейному виду
IgPi-Ua-I-UIgVi-, (655)
от формулы (655) целесообразно перейти к параметрическим уравнениям поправок б Ig а и Sb с целью уменьшения влияния ошибок округлений. Выше этот прием назван «двойным» выравниванием. Имеем
ut=eiga+-igVi6fr-H(, { 655)
где свободный член уравнений поправок
/<-.lga + &IgVi-lgP, ((=1, 2,. . ., л). (657)
В матричном виде формула (656) запишется так
V = AA + L, (658)
где
K=I - І; А-І
У ; А=-\
¦(ГУ-
1 IgV1 1 tgva
1 Igv,
здесь А — матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок; А — вектор параметрических поправок; L — вектор свободных членов уравнений (656), V — вектор поправок функции IgP;.
Согласно теории метода наименьших квадратов от формулы (658) переходят к системе нормальных уравнений
ЛтЛД+Л^ = 0. (659)
В формуле (659)
лм -я-С 1 1 1 M 1 lgVl
Vl Ig v.
IgV1
Следовательно, в привычной записи система нормальных уравнений в данном случае будет иметь вид *
лб Ig а 4 Hg V] ЬЪ + 1/1 = 0, )
[lg V] 6 Ig а + 1 (lg vfl Sb + I' Ig V] - 0. f
Обращая матрицу коэффициентов нормальных уравнений R ~ =-- A7A (например, по способу Гаусса или методом квадратных Корней), получим матрицу весовых коэффициентов
Q - R-1, (663)
а затем искомый вектор
Л=— QA7L. (664)
Обращение матрицы R1 например, по способу Гаусса заключается в решении в данном случае двух систем нормальных уравнений [см. § 63, (6]4) — (616))
nQn + [lgv]Ql2-l =0, I1
HgV]Q11 1¦[(IgVfJQ12 -0, J К }
nQ-i-tPgvlfe.-O, J
ngvlQM + |0gvf]QM-l-O. і { '
Решение систем (665) и (666) дает матрицу весовых коэффициентов
Искомый вектор 4 — — QA-1L или, что одно и то же,
CTh-Ct Z)(ZC- «¦»
Из выражения (668)
6Iga=-Q11[Zi-Q12[NgV],
bb -_ Q21JZj-Q23 (і Ig vl. Уравненные значения параметров будут lga = (lga)0 + 61ga,
(669) (670)
U) = -Hg p]
Контролем вычислений служит равенство
[w\- —[vl{. (671)
Выше (§ 67) упоминался метод «логарифмической» корреляции. Изложим кратко его сущность.
При подборе уравнения связи переменных чаще всего используется таблица кривых.
После того как уравнение связи выбрано, задача сводится, как отмечалось выше, к определению постоянных с достаточной точностью. Определение постоянных возможно различными путями, причем наиболее надежным из них является метод наименьших квадратов. Однако с точки зрения простоты решения указанной задачи целесообразно было бы применять такие способы, которые обеспечивают достаточную точность и в то же время менее громоздки.
Для получения постоянных в эмпирических формулах вида
у-- а+Ьк
в § 21 рассмотрено использование коэффициента корреляции и связанных с ним коэффициента регрессии и уравнения регрессии. Эту методику определения постоянных можно использовать взамен метода наименьших квадратов и для функциональных связей с той лишь разницей, что в этом случае коэффициент корреляции всегда должен быть равен единице в пределах ошибок вычислений. В свою очередь это является подтверждением, что исследуемая связь функциональная.
Однако в практике исследований линейная функция как форма функциональной зависимости встречается сравнительно редко. Значительно чаще связь выражается криволинейной зависимостью и для характеристики статистической криволинейной зависимости переменных коэффициент корреляции, позволяющей легко переходить к уравнению регрессии, не подходит. Здесь необходимо вычислять корреляционное отношение, которое служит отвлеченной мерой связи и которое невозможно использовать для выражения этой связи формулой. В большинстве же случаев исследователя в меньшей мере интересует отвлеченная характеристика тесноты той или иной связи, чем конечное математическое выражение, позволяющее производить предвычисления одной из переменных для заданного значения другой.
