Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V '->¦ <з.....V
i:.....<;¦
Pr P2- P3. ¦ ¦ ¦. P4.
где ,O1-BeC наблюдения /, или 1\,
р2 — » » L1 » V2
(515)
Pn — » » /я » ^
Получим формулу для вычисления средней квадратичеекой ошибки единицы веса по разностям двойных неравноточных наблюдений.
Для этого запишем разности
d. = l-i\ (t = l, 2, 3,. . ., п). (516)
Вес разности di согласно (444) для независимых наблюдений будет определяться формулой
------<517>
ч р'і р<; Pi
где Pi1 = P1- = pi — вес отдельного наблюдения.
Из выражения (517) следует, что
т. е. вес разности в два раза меньше веса отдельных наблюдений, по которым составлена разность.
Для результатов наблюдений (515) с учетом (516) и (518) можно записать
Pi 2
2
2
2
u1=
d2--
k =
k-
В соответствии с формулой (467) имеем
(519)
<ё-?-+4-?±-+4-?з--\- . . -
2
или
Для коррелированных измерений соответственно
V
Id2Pl
(520)
(520')
2л (1 — г)
Средние квадр этические ошибки приближенных значений искомых величин, вычисленных как средние арифметические из результатов двойных наблюдений, равноточных попарно, т. е.
к =
'і "І гі
к =
L + 1,
г г
будут соответственно равны
'„ + '«
(521)
m_ = —j^=-;
'2 V^Pa
; m_-—^=-. (522) 1 ^Pn
Справедливость выражений (522) легко проверить следующим образом. Пусть
ГДЄ U И /; ИМеЮТ ОДИНЭКОВЫЙ ВЄС pi.
160
Тогда по формуле (444) имеем і 1
Ap1: ipi
откуда
P1 = IPi-
В соответствии с формулой (463) запишем
f P-
г-
у"рг. VV
(524)
Иногда при обработке двойных неравноточных наблюдений встречаются случаи, когда наблюдения и попарно неравноточны, т. е.
P1^P1- C = 1. 2, 3.....п)
Нетрудно установить, что веса разностей (519) в этом случае в соответствии с формулой (444) равны
р . P
Pd,
p +p-'\ 'і
р P ¦
р P ¦
"i.+pt:
(525)
Приближенные значения искомых величин и их средние квадра-тические ошибки должны быть вычислены по формулам
U=----— (/-1, 2, 3, . . ., и);
P4+ P1-
4 VP'rPU
(526) (527)
6 Закат № 477
161
В том случае, когда разности двойных неравноточных наблюдений (519) содержат систематические ошибки, величина
Ip]
(528)
будет заметно отличаться от нуля и будет представлять как бы систематическую ошибку двойных неравноточных наблюдений (точнее, остаточное влияние систематических ошибок, так как равные систематические ошибки, входящие в наблюдения и 1\, на разностях не сказываются). Это обстоятельство приводит к завышению оценки точности и является крупным недостатком оценки точности по разностям двойных наблюдений.
После исключения величины 9 из разностей, т. е.
4=4-0 (1 = 1, 2, 3.....п)
средняя квадратическая ошибка единицы веса по аналогии с формулой (511) вычисляется по формуле
'-I)
Для коррелированных измерений соответственно
V 2t«— 1) (1—0
(530)
§ 52. О ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ОСТАТОЧНОГО ВЛИЯНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК В РАЗНОСТЯХ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Выше отмечалось, что остаточное влияние систематических ошибок можно в разностях двойных равноточных и неравноточных измерений выявить, вычисляя соответственно
й Wl
(531)
Q = ^L. (532)
[р\ v '
Получены формулы (511), (512), (529) и (530) для оценки точности по разностям двойных измерений.
Однако вполне законно спросить, с какими значениями 9 в формулах (531) и (532) следует считаться и соответственно оценку точности производить по формулам (511), (512), (529) и (530) и когда их (9) можно считать несущественными и оценку точности производить по формулам (505), (507), (520) и (520').
Общепринято пренебрегать систематической ошибкой в отдельных измерениях, если она привносит в суммарную ошибку не более V5 ее величины, т. е. не превышает ошибки вычислений. Исходя
из этого, для определения значимости отклонения от нуля для равноточных измерений примем
IWJI
<— md; (533)
її 5
для неравноточных измерений
-Ii^U- < (533')
Среднюю квадратическую ошибку можно вычислить, не применяя формул § 50, по формуле связи ее со средней ошибкой (см. формулу 285), т. е. для данного случая
(534)
п
Соединяя условие (533) и формулу (534), запишем
-Ш < 0,25 M-. (535)
п п
Окончательно на основании (535) имеем
11411^0,251 |d]J. (536)
Назовем это неравенства критерием допустимости абсолютного значения алгебраической суммы разностей двойных равноточных измерений.
Для неравноточных измерений по аналогии с изложенным можем записать
\[d УЛ I < 0,25 [\d К>| ]. (537)
Выражение (537) будет в свою очередь критерием допустимости абсолютного значения алгебраической суммы произведений разностей двойных неравноточных измерений на корень квадратный из соответствующих весов этих разностей.
Критерии (536) и (537) фактически будут определять условия применимости формул (505), (507) и (520), (520') соответственно.
§ 53, ПРИМЕРЫ НА ОЦЕНКУ ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
