Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 58. ВЫВОД НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
Если система условных уравнений (539) нелинейна, прежде чем решать задачу по методу наименьших квадратов, ее надо привести к линейному виду, например разложением функций в ряд
Тэйлора по степеням малых приращений искомых неизвестных Ьх, 6у, . . . , Ы.
Представим х, у, г, .... t в следующем виде:
х = х0 + дх,
У-Уо+Ьу, к (556)
/=/„4 .У.
где х0, у0, . , . , t0 — приближенные значения неизвестных, вычисленные, например, решением любой системы из k уравнений (548). Получим
M*»+6*. Уо + Ьу.....<ъ+Щ = Ь + {х<>, Уо.....'«)+(-?-)»&Х +
¦¦¦ + (?-)."+*- ' <557)
Пренебрегаем в формуле (557) остаточным членом по его очевидной малости (бх, 6у.....S/ — очень малые величины по сравнению с Xn, ... , I0) и после введения обозначений
¦т.-- (г).-*-- - (to.-* <558»
формулу (557) перепишем
fi(xa+6x, i/o by.....f0 + Ы) --Ji[X0, ,/„, . . ., /?)-1-
+ afix+bfiy+ . . . +gtf (( = 1, 2.. . . , и). (559) Уравнения поправок (542)
/,-(*- У.....H-W1=V1
с учетом (559) примут вид
afix+bfiy + . . . T-^-T-Z1(V - ¦¦ 1O)^W1=V1. (560) Обозначим
M-V %.....^)-W1-I1(L = I1 2.....п) (561)
— свободные члены уравнений поправок.
Окончательно система уравнений поправок (560) с учетом обозначения (561) будет
Оібх+biby+ . . . +gibt+U^vi ((=1, 2.....л). (562)
Поступая аналогично тому, как это имело место в § 56, придем к системе линейных нормальных уравнений (для равноточных измерений)
|oq] Ьх + \аЬ]Ьу+\ас]Ьг + . . . +Jag] 6/-I- [а!] = 0,
[ab] 6x + [bb] Sy+[be] Sz-[ac[ Ьх + [be] &y+[cc] 6z-
-[bg\& MMl=O1 ¦№&H-[ct\ = .
(563)
lag\bx+[bg]6y+[cg]6z+ . . . +[gg\&t+[gt]=0.
Для случая неравнотачкых измерений система нормальных уравнений будет аналогична системе (555), только в качестве неизвестных в ней будут &х, 8у, бг, . , . , 67 вместо х, у, г, . . . , t, т. е.
\раа] dx-'t- \pab\ by + [pac]bz + . . . -\-[pag\6t -t-[pa/| = 0,
\pab}Sx + {pbb[8y+[pbc)6z + . . . г[pbg\Ы-{-[рЫ\ = О,
\рас]Ы + \рЬс]Ъул [рсс\Ьг+ . . . +[peg] bt Л- [pel] =0, (564>
]pag]bx + \pbg}by +[peg] bz+ . . . 4 ]pgg] & + [pgl] -- О,
Рассмотренный в § 55—58 способ называется параметрическим способом уравнивания.
Если уравнения (539) выражают криволинейную зависимость, во многих случаях ее можно свести к линейной методом «выравнивания», сущность которого состоит в следующем (возьмем для простоты функцию двух неизвестных ~ ф (х, у)). Функция ф (х, у) преобразуется к виду
Ф(х, у) = а +bf{x, у) и вводятся новые неизвестные
х'--ї(х, у), 1/'=<р(х, у). Так, например, криволинейная зависимость
у = охь
логарифмированием сводится к линейной, т. е.
lgy^\ga + b]gx.
Уравнение поправок примет вид
IgUfMg^-Ig(Zi = O1- ((-I, 2, . . . , п).
Нормальные уравнения составляются по изложенному выше пути; указанный прием будет продемонстрирован на примере.
§ 59. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для получения только самих значений неизвестных системы (551), (555), (563), (564) можно решить любым из известных способов алгебры и найденные значения неизвестных будут наиболее надежными, поскольку системы нормальных уравнений составлены под условиями (375) и (454) для равноточных и неравноточных измерений соответственно.
Однако выше (§ 54) была поставлена задача совместного решения двух главных проблем уравнивания получения наиболее надежных значений неизвестных параметров и оценки их точности. Часто возникает также необходимость оценки точности функций уравненных параметров. В этом случае целесообразно применять
при решении системы нормальных уравнений один из трех способов 123, стр. 258—259]: 1) способ определителей; 2) способ Гаусса; 3) матричный способ.
Рассмотрим способ Гаусса как наиболее простой и общеизвестный на примере трех нормальных уравнений для случая равноточных измерений.
Итак,
/V1 [аа\ х -(- [аЬ\у + [ас\г +¦ [al\ - 0, )
N2 [ab] х + [ЪЪ\ у -\ [Ъс\ г 4- [Wl -- 0, (565)
N3 [ас] х -J- [be] у \- [се] г + \cl\ = 0. )
Сущность способа Гаусса на этом этапе состоит в последовательном исключении неизвестных и своеобразном обозначении полученных результатов. Из N1 находим
|па) [си] \аа] 1 '
и, подставляя (566) в Nа и N3 уравнений (565), получим
[со] [аа[
и
"з
бозначим:
V [со]
, Л+[ЬЬ\у±[Ьс\г-ЫЫ]--0,
[аа\ )
Іоа) * [аа] J
іор]
[Ьс\у i~[CC]Z-
(567)
W-
\ab]\ab] 1оа]
\Ьс)-
lab] [ас]
- [Ьс\
M
[CC]-
[ос] [ос] \ва]
-И]
[Cl]-
[ос] [о/] [по]
-ИИ
(568)"
С учетом (568) перепишем уравнения (567): JVs \ЬЬ\]у+\Ьс\)г+\Ь1\] = Ъ, Ж [bci]y+\ccl]z + [cll] = 0.
(569)
* Числовой символ 1 означает номер исключенного неизвестного, в данном случае — первого (х).
Далее исключаем 2-е неизвестное у, из Nj-уравнения (569) получим
[ЬсЦ \Ь!\ \
У ' [ЬЬЦг [UdIJ Подставим значение ц из (570) в Nl уравнения (569)
(570)
JV3
Обозначим
JtClJ
\ccl\-
