Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В самой деле, после исключения предпоследнего неизвестного имеем
Vo) = \gl (А -1)1 M- [U (k-1JJ. (603)
Подставив в формулу (603) 1 из (601), имеем
Аналогично формуле (600) умножим систему (548) на столбец Si из контроля (598), получим
[*J = [OSJ*+ PsJу T-[MlZ-J- . . . +\gs\l + \!s}. (605)
Исключив из формулы (605) предпоследнее неизвестное, имеем
М= _^№-i)]fff(*-_r)L + [fs(ft-l)l=Jfaft]. (605') Ug (ft —1)1
Из выражения (599) видно, что
I/sft] = [ssfe].
(605")
Соединяя полученные результаты из формул (595), (Б02), (504), (605') и (605"), получим
[W] = [Iv] = ]№] = [Uk] -= [isk] = [ssk). (606)
Контроль (606) называется заключительным Контролем при решении нормальных уравнений способом Гаусса.
Если в отличие от рассмотренного имел место случай неравно-точных измерений, выводы принципиально не меняются и формула (606) примет вид
Ipwl = IpIw) - jpsul - [pllb] -\ptsk\ -\pssk]. (607)
Формулы (592) для этого случая будут
"'-"•1Vt ¦
Am
т, - ц
а формула Бесселя примет вид
"- VS-
(608)
(609) 183
Оценка надежности определения т и р, по формулам (593) и <609) в соответствии с формулами (413) и (484) может быть произведена следующим образом:
ГПт =
ти = -
л/2 ln — k)
f1
(6J0)
,_ (6П)
Л/2(п — к)
При вычислении весов параметров х, у, г, . . . , t (или Ьх, Ьу, Сг, . . . , 5/, что одно и то же) с учетом формул (593) и (608) следует принять с — р,г и применять формулы
DDD P1 = —--. P11 - —--, рг = —---, - . . ,
-•I11
А»
Pi =
D
(612)
«ели система нормальных уравнений решалась способом определителей.
§ 63. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Задачу определения значений тХ1 m„, . . . , т, или рх, р,„ . ¦ ¦ , р, в случае решения системы нормальных уравнений по способу Гаусса рассмотрим на примере системы трех нормальных уравнений.
Введем Q,y-множители и назовем их весовыми коэффициентами (/ — номер неизвестного, / — номер уравнения).
У
Q31 Q33 Qm
[aa]x + ]ab]y+[ас\г+[al]-0, Q11 Q21 Q31 (613) \ab\x + [bb\y + \bc\z \\Ы\=0, Q12 Q22 )ис)х + 1Ьс)у + ]сс}< + )с!) = 0, Q13 Q33
Умножим каждое уравнение (613) последовательно кв весовые коэффициенты неизвестных х, у. г и принимая для каждой суммы результатов умножения на соответствующий столбец Q4-,
HlQ11 + \ab\Qv+ IaC]Q15= I, \
[a* I Qn + № Q12 + [be] Q13 - 0, (614)
\ас] Qn + IbC]Qn + [се] Q13- 0, I
[AbIQ11 4-HMGis- 1. (615)
\ас\ Q21 -і-lbclQ„+ IcC)Qu -- 0,
|ая)Озі +lab) Q3i + loci Q33 = O, \ab)Qsl + lbb)Qa2 + №QM^Q, \ac)Qu + )bc]Qn T-1«) Oa,--1,
после решения систем относительно неизвестных получим
~х ¦-IaI]Q^IbI]Q1, +-ldl Q18, ~У = [at] Q2I + [WI QnT Id]Qn, —г— lal] Q8I-I \Ы] Q92 fir/) Q33.
(617*)
Целью дальнейших преобразований поставим задачу окончательно выразить зависимые в уравнениях (613) между собой неизвестные х, у, z ъ функции от непосредственных результатов измерений (невязок) /,¦**. При преобразовании системы (617) обозначим
aAn+b.-Qa-CiQu = at, )
aiQ«J-fcQ« + <.Q«-Pi, (' = 1.2, . . . , п) (бій)
OiQ31 +biQ3t +CtQ33 = Vi. I
С учетом (618), формулы (617) примут вид
.V = .-lal], }
У---Ш, (619)
г---Іуі]. I
Применяя к формулам (619) известную из теории ошибок (§ 34) формулу (335), имеем
т.; --- [аа] т . ml = l№m\ ml = [VYl "г1.
(620)
Необходимые для формул (620) суммы [аа], [00], [уу] получаем, умножив систему CCi на столбец а,, систему 0, на столбец 0* и систему у, на столбец уі, т. е.
[аа]- |ад| Q11 -t [аЬ] Q,, т |ас| Q18, ]
IPPI = [NQn +- IPMQ2= +(Рс| Q23, J (621)
IYYl= №1 Ояі-МїЬ] Qm T-[YdQ33.
* Знаки «—» в формулах (617) для удобства перенесены в левую часть; на оценке точности это не скажется.
** Как было принято в формуле (547),
откуда следует, что т~и\ = т]. = tr? (гі — свободный член в формуле (545) безошибочен).
С учетом несложных преобразований системы (621) и того, что, как следует из выражений (614) — (616),
[ссй] = 1, [66)==1, [ус] = 1,
получаем
[«^] = Q11, [PPl-Q22, [VYl^Q33, (622)
С учетом (622) по формулам (620) для первых степеней средних квадратических ошибок уравненных параметров, т. е. не для случая трех уравнений, а для общего случая, когда число уравнений k, запишем
in, - т VQn . ' trtj = т VQai і I
т, - т V Qi/k ¦ ) Для неравноточных измерений соответственно имеем
>i-jiVQii ,
ти - и Vq22.
тг = p. V Qss.
(624)
'«г-и VQm-
Сравнивая формулы (608) и (624), приходим к очень важному положению, а именно
Qu-
А,
D
Qa —
D
D
Qkk =
4It
D
(625)
Таким образом, диагональные весовые коэффициенты по формулам (625) при оценке точности в способе Гаусса равны частному от деления алгебраических дополнений соответствующих диагональных элементов определителя системы на определитель системы, т. е.
Qa = ~- ¦ (626)
Можно доказать [22, стр. 336], что любые весовые коэффициенты являются алгебраическими дополнениями элементов, разделенными на определитель системы, т. е.