Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геодезия -> Большаков В.Д. -> "Теория ошибок наблюдений" -> 57

Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.

Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: Учебник для вузов — M.: Недра, 1983. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshakov1983teor-osh-nabl.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 70 >> Следующая


В самой деле, после исключения предпоследнего неизвестного имеем

Vo) = \gl (А -1)1 M- [U (k-1JJ. (603)

Подставив в формулу (603) 1 из (601), имеем

Аналогично формуле (600) умножим систему (548) на столбец Si из контроля (598), получим

[*J = [OSJ*+ PsJу T-[MlZ-J- . . . +\gs\l + \!s}. (605)

Исключив из формулы (605) предпоследнее неизвестное, имеем

М= _^№-i)]fff(*-_r)L + [fs(ft-l)l=Jfaft]. (605') Ug (ft —1)1

Из выражения (599) видно, что

I/sft] = [ssfe].

(605")

Соединяя полученные результаты из формул (595), (Б02), (504), (605') и (605"), получим

[W] = [Iv] = ]№] = [Uk] -= [isk] = [ssk). (606)

Контроль (606) называется заключительным Контролем при решении нормальных уравнений способом Гаусса.

Если в отличие от рассмотренного имел место случай неравно-точных измерений, выводы принципиально не меняются и формула (606) примет вид

Ipwl = IpIw) - jpsul - [pllb] -\ptsk\ -\pssk]. (607)

Формулы (592) для этого случая будут

"'-"•1Vt ¦

Am

т, - ц

а формула Бесселя примет вид

"- VS-

(608)

(609) 183

Оценка надежности определения т и р, по формулам (593) и <609) в соответствии с формулами (413) и (484) может быть произведена следующим образом:

ГПт =

ти = -

л/2 ln — k)

f1

(6J0)

,_ (6П)

Л/2(п — к)

При вычислении весов параметров х, у, г, . . . , t (или Ьх, Ьу, Сг, . . . , 5/, что одно и то же) с учетом формул (593) и (608) следует принять с — р,г и применять формулы

DDD P1 = —--. P11 - —--, рг = —---, - . . ,

-•I11

А»

Pi =

D

(612)

«ели система нормальных уравнений решалась способом определителей.

§ 63. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Задачу определения значений тХ1 m„, . . . , т, или рх, р,„ . ¦ ¦ , р, в случае решения системы нормальных уравнений по способу Гаусса рассмотрим на примере системы трех нормальных уравнений.

Введем Q,y-множители и назовем их весовыми коэффициентами (/ — номер неизвестного, / — номер уравнения).

У

Q31 Q33 Qm

[aa]x + ]ab]y+[ас\г+[al]-0, Q11 Q21 Q31 (613) \ab\x + [bb\y + \bc\z \\Ы\=0, Q12 Q22 )ис)х + 1Ьс)у + ]сс}< + )с!) = 0, Q13 Q33

Умножим каждое уравнение (613) последовательно кв весовые коэффициенты неизвестных х, у. г и принимая для каждой суммы результатов умножения на соответствующий столбец Q4-,

HlQ11 + \ab\Qv+ IaC]Q15= I, \

[a* I Qn + № Q12 + [be] Q13 - 0, (614)

\ас] Qn + IbC]Qn + [се] Q13- 0, I

[AbIQ11 4-HMGis- 1. (615)

\ас\ Q21 -і-lbclQ„+ IcC)Qu -- 0,

|ая)Озі +lab) Q3i + loci Q33 = O, \ab)Qsl + lbb)Qa2 + №QM^Q, \ac)Qu + )bc]Qn T-1«) Oa,--1,

после решения систем относительно неизвестных получим

~х ¦-IaI]Q^IbI]Q1, +-ldl Q18, ~У = [at] Q2I + [WI QnT Id]Qn, —г— lal] Q8I-I \Ы] Q92 fir/) Q33.

(617*)

Целью дальнейших преобразований поставим задачу окончательно выразить зависимые в уравнениях (613) между собой неизвестные х, у, z ъ функции от непосредственных результатов измерений (невязок) /,¦**. При преобразовании системы (617) обозначим

aAn+b.-Qa-CiQu = at, )

aiQ«J-fcQ« + <.Q«-Pi, (' = 1.2, . . . , п) (бій)

OiQ31 +biQ3t +CtQ33 = Vi. I

С учетом (618), формулы (617) примут вид

.V = .-lal], }

У---Ш, (619)

г---Іуі]. I

Применяя к формулам (619) известную из теории ошибок (§ 34) формулу (335), имеем

т.; --- [аа] т . ml = l№m\ ml = [VYl "г1.

(620)

Необходимые для формул (620) суммы [аа], [00], [уу] получаем, умножив систему CCi на столбец а,, систему 0, на столбец 0* и систему у, на столбец уі, т. е.

[аа]- |ад| Q11 -t [аЬ] Q,, т |ас| Q18, ]

IPPI = [NQn +- IPMQ2= +(Рс| Q23, J (621)

IYYl= №1 Ояі-МїЬ] Qm T-[YdQ33.

* Знаки «—» в формулах (617) для удобства перенесены в левую часть; на оценке точности это не скажется.

** Как было принято в формуле (547),

откуда следует, что т~и\ = т]. = tr? (гі — свободный член в формуле (545) безошибочен).

С учетом несложных преобразований системы (621) и того, что, как следует из выражений (614) — (616),

[ссй] = 1, [66)==1, [ус] = 1,

получаем

[«^] = Q11, [PPl-Q22, [VYl^Q33, (622)

С учетом (622) по формулам (620) для первых степеней средних квадратических ошибок уравненных параметров, т. е. не для случая трех уравнений, а для общего случая, когда число уравнений k, запишем

in, - т VQn . ' trtj = т VQai і I

т, - т V Qi/k ¦ ) Для неравноточных измерений соответственно имеем

>i-jiVQii ,

ти - и Vq22.

тг = p. V Qss.

(624)

'«г-и VQm-

Сравнивая формулы (608) и (624), приходим к очень важному положению, а именно

Qu-

А,

D

Qa —

D

D

Qkk =

4It

D

(625)

Таким образом, диагональные весовые коэффициенты по формулам (625) при оценке точности в способе Гаусса равны частному от деления алгебраических дополнений соответствующих диагональных элементов определителя системы на определитель системы, т. е.

Qa = ~- ¦ (626)

Можно доказать [22, стр. 336], что любые весовые коэффициенты являются алгебраическими дополнениями элементов, разделенными на определитель системы, т. е.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed