Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 79

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 175 >> Следующая

вектора К в новой системе Ох'у'г' определятся следующим преобразованием (по существу, преобразуются лишь X и У в х1 = X ъощ + У §\щ и у' = -X втер + У созср):
(X) ' coscp sincp 0) (x\
У' = АФ Y — - sincp coscp 0 Y
U'J , о 0 1,
(5.1.14a)
Второй поворот совершается вокруг оси Ох' на угол так чтобы новая ось Ог" совпала с осью Ог подвижной системы координат
238
(это совпадение определяет и величину угла ср, поскольку линия Ог' должна лежать в плоскости х'02):
1х"\ (х'\
У" = ад У' II
U";
(х'\
У'

U'J
(5.1.146)
[х"\ /
У У" \
\ Iх")

У
ft
/ \z 1
1 о о
О cos^ sin^ О -sinО cosfy
Наконец, третий поворот совершается вокруг оси Oz" на угол х> так чтобы ось Ох" совпала с осью Ох, а Оу" - с осью Оу:
cosx sinx 0\
- sinx cosX О У" * (5.1 Л4в) О 0 1,
Результирующий поворот определяется последовательностью трех указанных поворотов, т.е. матрицей а = ах*а^*аф. Коль скоро каждая из матриц-сомножителей ортогональна (в чем нетрудно убедиться прямой проверкой), то ортогональной будет и матрица а. Итак, имеем:
г = AR, R = Afr, (5.1.15)
где г - вектор-столбец из компонент вектора в подвижной системе, a R - вектор-столбец из компонент того же вектора в неподвижной системе координат.
Скорости изменения г и R с течением времени связаны следующим соотношением, получающимся при дифференцировании (15) по времени:
R = Atr + Atr = At(r + AAfr). (5.1.16)
Здесь а*- матрица, получающаяся из а* взятием производной по времени от каждого ее элемента, причем аа* = 1. Что касается матрицы аа , то ее структура очень проста:
аа t = ахадаф( AJaJaJ + aJa^aJ + aJaJaJ ) = = аха^афа*)а?а* + ax(a<>a?)aJ + axAJ. (5.1.17)
Поскольку далее
(0 -х 0) (& 0 0 \ ГО -ф 0\
А А-*" - X 0 0 0 0 - А А''' - ф 0 0
1° 0 1° Ь 0) 1° 0 о,
и Х> Ф и Ф - величины векторов угловой скорости со, направленных
?383206494
239
по осям Ог9 Ох' (называемой линией узлов) и ОХ соответственно, Поэтому
' 0 -(ю2)г 0^
К)г о о
где ю2 - угловая скорость вращения вокруг оси Ог9 направленная по этой оси, так что ее проекция (ю2)2на эту ось совпадает с длиной вектора ш2 ; далее
ЛхАх "
A (AftAt)Aj-
x
' cosx sinx 0^ (° 0 0
-sinx cosx 0 0 0 -<ox
1 0 о \ юх, 0
( 0 0 — co^sinx^
0 0 — со x, cosx =
^co^sinx со x. cosx о )
/
(cosx - s?nx 0X sinx cosx 0 0 0 1
/
0 0
0 0
(ш,. )x
0
где а),. - длина вектора угловой скорости при поворотах вокруг линии узлов, а (<ох, )х и (&х, )у - проекции этого вектора на оси подвижной системы координат. Аналогично записываются элементы и оставшейся в правой части (16) матрицы АхА<>(АфА?)А?а? через проекции вектора со2 , отвечающего поворотам вокруг оси 0г неподвижной системы. Коль скоро полная угловая скорость о> системы есть векторная сумма указанных трех угловых скоростей: ю = ш2 + <ох, + ю2, то окончательно найдем:
ыу -со.
AA1" =
Следовательно,
AAfr =
0 -<я2
0
~ыу
-<о2/
со2х -олхг
<°хУ -соух
о
= юх г
т.е. скорость К в лабораторной системе координат, как показывают (16) и полученное равенство, есть записанная в этой системе
240
сумма собственной скорости г и скорости юхг, обусловленной вращением подвижной системы координат:
R = At(r + wxr). (5.1.18)
Для частицы с массой т момент импульса с использованием (15) можно теперь записать так:
L=RxwR = AVxAt(/^ + /moxr) = At[rxwr + wrx(coxr)], (5.1.19)
где переход к последнему равенству основан на том, что слева в нем стоит векторное произведение двух векторов в лабораторной системе, а справа записано сначала это же векторное произведение в подвижной системе, а потом совершен обратный переход к лабораторной системе. Вектор 1 = г хтг есть момент импульса в подвижной системе (который, как очень хотелось бы, должен быть по возможности близким нулю). Двойное же векторное произведение можно переписать, применяя известную формулу векторного исчисления:
ах (Ьх с) = b(a с)-с(а Ь). (5.1.20)
Тогда получим
L = At(] + /ww*r2 -mr(r •(!>)) = At(l + Iw), (5.1.21)
причем I - симметричная матрица, элементами которой служат моменты инерции (на диагонали) и так называемые произведения инерции (на недиагональных местах):
т(г2 - х2) - тху - mxz х
1 =
- mxy mir1 - у2) - туг
2 2
- mxz - myz m(r - z )
(5.1.22)
Для системы материальных точек матрица I будет суммой матриц (22), относящихся к отдельным точкам. Эту матрицу часто называют матрицей тензора инерции. Используя соотношение (21), можем найти выражение для ш и подставить его в (18):
Ак = г - г х I1 (А1. - 1) • (5.1.23)
Таким образом, скорость к в лабораторной системе координат выражена через скорость в подвижной системе, через момент импульса Ь в лабораторной системе и через момент импульса 1 в подвижной системе. Подставим выражение (23) для скорости R. каждой материальной точки в функцию ЛаграИжа и попробуем перейти далее к функции Гамильтона (с тем, чтобы записать далее оператор Гамильтона). При этом переход к импульсам потребует
241
использования независимых координат и построения канонически сопряженных им импульсов.
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed