Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
~^f~ai(f/(0) Для членов порядка У7'; (10,13)
Г;, ')__За,(У(0) д д 1 . а»Р(Е, 1)
дГ^---Щ 5| s^w. 0 + j«2(y(0) ^р—
для членов порядка V. (10.14)
Здесь моменты вычислены при наиболее вероятном значении (/(/); последнее изменяется во времени в соответствии с уравнением (10.13), которое, как показано ниже, имеет ту же структуру^ что и макроскопические уравнения эволюции.
Для одной случайной переменной стационарным решением уравнения (10,14) оказывается гауссово распределение. Иной результат получается в случае уравнения (10.8), коэффициенты которого нелинейны. Следовательно, в общем метод Ban Каьт пена не позволяет непосредственно анализировать неустойчивые системы, или (как будет показано ниже) случаи отклонения от гауссова распределения. Если разложение проводить вблизи нестационарного состэяния, вычисления становятся очень -громоздкими. В этом случае в соответствии с Определением (10,11) безразмерная случайная переменная % сама должна зависеть от времени, чтобы обеспечивалась независимость от времени исходной случайной переменной X
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
261
Несмотря на эти ограничения, разложение Ван Кампена представляет эффективный метод анализа, позволяющий выявить общие свойсгза флуктуации в нелинейных системах.
Процессы Гаусса — Маркова, приводящие к уравнению Фок-кера — Планка с нелинейными коэффициентами, как в уравнении (10.8), можно также описывать при помощи уравнения Лан-жевена [406], Идея состоит в замене макроскопического уравнения эволюции на стохастическое дифференциальное уравнение [7]. В физических приложениях вероятностный характер уравнения обусловлен наличием случайной силы
Справедливость макроскопического описания теперь может быть установлена лишь в смысле среднего; для этого в соответствии с классической теорией необходимо, чтобы
<Р(*)) = 0, (10.16а)
Кроме того, предположение о марковском характере процесса эквивалентно отсутствию корреляции между значениями р в различные моменты времени:
{Р(г.)*7 (<а» = ЗДЙ(*1-*!>- (10.166)
Здесь угловые скобки обозначают статистическое среднее по распределению значений р.
Использование метода Ланжевепа для нелинейных систем, находящихся в сильно неравновесных условиях, имеет такие же недостатки, как и в случае применения уравнения Фоккера — Планка (10.8) (см, также гл. Л и 12).
Уравнение типа уравнения Гамильтона — Якоб и
Этот метод, впервые развитый Кубо, Мацуо и Китахара [212] (см, также [201]), имеет некоторое сходство с методом Ван Кампена. Однако он является более общим, что упрощает анализ систем в окрестности точки потери устойчивости.
Здесь также рассматривается безразмерная переменная х, соответствующая экстенсивной величине X:
Х=Ух.
Чтобы представить фундаментальное уравнение (10.2) через переменную ху вводятся:
1) новое распределение вероятностей
Р(х,*)~Р(Х,/). (10.17а)
262
Глава ?0
2) новая вероятность перехода
УФ (х, г) = & (X -* X + г); (10.176)
3) «гамильтониан» И, определяемый как
Н (х, р) = ? (1 - е~ V) й (х, Гр). (Ю.17в)
р
Затем операцию сдвига, фигурирующую в фундаментальном ураанепии, можно выразить через оператор Н, в котором р заменено на производную д/дх. Тогда вместо уравнения (10.2) получаем
Это уравнение аналогично уравнению Шрёдипгера, известному в квантовой механике. Отличие состоит в том, что вместо величины Й/(" фигурирует множитель \1У, который для макроскопической системы должен быть малым. Подобно тому, как это делается в квантовой механике, асимптотические решения уравнения (10.8) можно искать методами типа ВКБ [69]. Эти решения имеют вид
Р<хехр(уф(х,1)), (10.19)
Существование таких решений было установлено Кубо, Мацуо и Китахара [212], а также Китахара [201] фейнмановским методом интегралов по траекториям. Подставляя (10.19) в уравнение (10.18), с учетом главных по V членов получим
дф (х, 0 . „ / дф
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение Гамильтона — Якобн [69]. Решить его можно при помощи хорошо разработанного метода характеристик. Топологическая структура траекторий этих уравнений в соответствующем фазовом пространстве несет информацию о единственности и устойчивости их решений, а также о форме распределения вероятностей. В применении к системам с двумя или более случайными переменными этот метод становится очень сложным. Однако для систем с одной случайной переменной получены интересные результаты, особенно в случае переходов между множественными стационарными состояниями. Соответствующее распределение вероятностей становится двугорбым (э батее общем случае возникает несколько максимумов) н сопровождающие неустойчивости явления можно описывать аналогично равновесным фазовым переходам первого рода.
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
Метод производящей функции н кумулянтное разложение
Еще один метод, широко используемый в последующих разделах книги, заключается в представлении фундаментального уравнения в пространстве производящей функции. Для этого определим производящею функцию F ({si}, I) соотношением (22, 256]
