Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
5 = 8,-1,
[10.67)
Необходимо отметить один важный момент, состоящий в том, что уравнения (10.65) или (10.66) не допускают факторизуемых решений. Даже если исходить из факторизовациого распределения вероятностей, содержащий произведение (Х-)-!)!^— 1) (или вторую производную по 5 и ч в представлении производящей функции) член приведет к появлению корреляции между X и У. На первый взгляд это естественно, поскольку в самой химической реакции имеется сопряжение между X и У. Тем не менее это удивительно с точки зрения как кинетической, так и термодинамической теорий неравновесных явлений, В основу локаль-
*) Здесь анализ флуктуации проводится на примере химического аналога подели Лотка — Вольтерра. Полученные результаты можно нейосредстпенно перевести на язык динамики популяций, рассматриваемой в гл. 18.
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
279
пого описания необратимых процессов, принятого во всей книге, положено представление о локальном максвелловском равновесии, по предположению имеющем место в каждом малом элементе объема системы. В свою очередь максвелловское равновесие в идеальной системе подразумевает обязательную факторизацию распределения вероятностей отдельных частиц!
Для устранения Этой трудности необходимо учитывать, что при использовании формализма процессов рождения — гибели приходится пренебрегать локальными аспектами явления и иметь дело исключительно с флуктуациями в больших объемах. Вследствие Этого отдельные степени свободы, которые локально являются статистически независимыми, объединяются в макро-переменные, такие, как X или У, относящиеся к системе в целом, и, следовательно, не обязательно приводят к факторизуемым распределениям.
Учитывая это обстоятельство, исследуем асимптотическое решение уравнения (10.66) путем введения вспомогательной переменной 1р (10.27) в пределе при N-^00. Уравнение для производящей функции принимает следующий вид:
? - •*<?+!)?-1<+ (Ч+Ч(Ч-!)Х Здесь мы ввели обозначения
А =аЯ,
В=№, (10.69)
x = Nt.
Очевидно, что а, р = 0(1). В уравнении (10.68) член со второй производной умножается на 1 /jV, и поэтому при больших N он может рассматриваться как малая величина. Будем искать решения Этого уравнения в виде (10.28):
*=ai{t)l + ai(()r\ + bidt)]%-+bl»{t)b\ + b2i(t)?-+ ¦¦¦>
(10.70)
где коэффициенты разложения связаны с моментами распределения вероятностей соотношением (10,30).
Подставляя это выражение в (10.68) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях | и r?. получим систему нелинейных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения:
da? b.'?
— = „Д(-Й|Й2-^-,
^ = _^ + а1Й2+^; (10.71)
280
Глава 10
используя для упрощения матричные обозначения, можно записать
(10.72)
Если в уравнении (10.68) пренебречь членами, пропорциональными то первые два соотношения образуют замкнутую систему уравнений, не зависящую от дисперсии 612. Кроме того, матрица, умножаемая в (10.72) па вектор
6і і
Ь-2 2
принимает более простой вид. С другой стороны, в уравнения Для дисперсии входят высшие члены разложения (10.70) величины гр, отражающие влияние моментов третьего и более высоких порядков. Вес эти члены должны умножаться на поэтому в пределе при Л'—*- со они становятся пренебрежимо малыми.
Рассмотрим следствия пренебрежения членами, пропорциональными 1/Лг1 в пределе при ЛГ->- с». Первые два уравнения тождественно пере.їодят в макроскопические кинетические уравнения, описывающие данную модель [см. уравнения (8.2)]. Эги уравнения допускают следующее стационарное решение:
«і = Р, а2 = а. (10.73)
Подставляя эти значения в уравнения для дисперсий, получим
*1ЯН-а0 + ° 0 -Р бо ¦ (Ю.74) \ 2аб/ ^0 2а оАья2/
Важно, Что уравнения (10-74) не имеют не зависящего от времени решения. Чтобы убедиться в этом, сложим уравнения для ?11 и Ъг 2; тогда
И,. + рЬз я) = 200 (а + р). (10.75а)
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
281
С другой стороны, еще раз дифференцируя уравнение для Ь\г, получим
?'bu_ dbu ? ubi?
~~аЧГ~—а dx Р dx •
Исключая производные Ьц, Ь?г из первого и третьего уравнений (10.74), получим замкнутое уравнение относительно b? 2:
a^L + 4aRbl а = 2ар (а - р). (10.756)
Для решения этих дифференциальных уравнений необходимо уточнить начальные условия. Предположим, что при i = 0 система описывалась факторизуемым пуассоповскпм распределением для X и У. Это означает, что
{OXOY)i=0 = 0. (10.76а)
В соответствии с (10.30) из этих условий следует, что bi? удовлетворяет равенству
i,;i(/ = 0) = 0. (10.766)
Решение уравнения (10.75), удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид
а*[ i + 2 = 2a?(а + ?) т (10,77a)
и
й, s = [1 - cos (2 (a?)* т)] - 7a (a?)'/s sin (2 (a?)* т). (10.776)
Таким образом, несмотря на пуассоновский характер начального распределения и тот факт, что с макроскопической точки зрения система находится в стационарном состоянии, дисперсии {6Х2) и (бУ2) увеличиваются во времени, немедленно отклоняясь от пуассоновского режима, и не могут достигнуть нового стационарного состояния. Следовательно, в рамках стохастической теории стационарное состояние (10.73) лиц ;ио смысла даже в пределе малых флуктуации, соответствующем пренебрежению в уравнениях моментов членами, пропорциональными ]/N. Рассматриваемой системе свойственны аномальные флуктуации, возрастающие во времени линейно и создающие периодический «фоновый шум», частота которого 2(a?)1''1 равна удвоенной частоте макроскопического движения. Со временем эти флуктуации приводят к изменению амплитуды членов типа 1/Л', так что в уравнениях моментов этими членами уже нельзя пренебречь, ? результате флуктуации средние значения переходят в завися-ищи от времени режим, далекий от стационарного [277]. Этот
