Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
F({st}. 0= Ё IIsf^ ({*,}. О- (Ю.21)
{х;}=о 1
Легко видеть, что функция F содержит средние значения различных степеней Xi. Тогда, учитывая (9.3) и вводя определения
<*?)= Z X?P({Xk},t),
со
(х1х?) = Z Х?Х?Р({Хк},(} а т. д. (10.22)
№°
можно найти
(^L)' -<*,>,
(?F«f *>) - СЛ (Л = <о/; 6Xk). (.0.23)
Чтобы вывести уравнение для F, умножим обе части фундаментального уравнения (10.2) на П^1 н просуммируем по {X,}.
В результате получим
¦If=Е ЕII s?'» (№ - r») тар a*. - ^ о -
{*<} о '
~Е ЕПя>(№)-ч^+^})р(га.о-
В первом члене справа перейдем к новым переменным Х\ = Xi — — rtfi. Учтем также явный вид (10.3) вероятностей перехода и заметим, что произведение
264
Глава 10
можно представить как
-~т вТ'р+г;р в*' X (Вклад остальных компонентов),
Напомним, что г,р —скачок числа молекул компонента і в реакции р, а і>(р — стех-иометричєский коэффициент реагентов І в левой части уравнения реакции (ї.-р^О}. С другой стороны, во втором члене справа в (10.24) имеются выражения вида
которые можно переписать следующим образом:
¦^-гб'.^-^г-X (Вклад остальных компонентов).
Символически эти выражения можно записать в виде
П*>+М{і}''«)ІЬ*'
П>?'-({^ }¦•№,)) ПА №*>
Подставляя (10.25} обратно в (10.24), получим
(10.26)
Например, для реакции
имеем
I» ^х = 0, гЛ= — I, гх= 1, и/ = йЛ
и
-3/- = М«*-*м>-^ ¦
Уравнение (10.26} является линейным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами. Решение этого уравнения в общем случае представляет собой трудоемкую задачу. Тем не менее иногда удается использовать регулярное разложение аналогично тому, как это делалось выше. В предельном случае макроскопических объемов можно принять, что [327]
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
265
где в соответствии с определениями (10.23) величина ф должна быть близка к единице. Подставляя это выражение в (10.26) и оставляя основные члены по Л', можно получить нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, до некоторой степени аналогичное уравнению Гамильтона — Якоби (10.20). Будем искать решение Этого уравнения в виде
ф = о,(01,+ ... Н-ав(01- + Ь|1(04+ ••• +М0-Т +
(10.28)
1. (10.29)
После подстановки в (10.26) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ^ получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения а,, Ь,1 н т. д. В этой бесконечной системе происходит последовательное зацепление между уравнениями, так что решение может быть найдено лишь в том случае, когда систему можно оборвать на некотором конечном шаге. Примеры такого рода рассматриваются ниже.
Заключительное замечание относится к физической интерпретации коэффициентов разложения. Из (10.23) и определения (10.27) величины ф находим
Ьи=^[{(6^)2)-{^)],
Ъ11 = ±-(ЬХ1ЬХ1) = ±[(Х1Х,)-{Х1)(Х1)] и т. д. (10.30)
Таким образом, коэффициенты разложения связаны с кумулянтами,или симиинеариантами, распределения вероятностей [211]. Другая интересная особенность заключается в том, что коэффициенты Ьи и Ьц непосредственно связаны с отклонением от пуас-соповского распределения, для которого соотношения (9.32) удовлетворяются тождественно.
+ Ь|а(01& + Ь]3(0&|Ь+ ••¦
где введены новые переменные
10.4. УРАВНЕНИЯ МОМЕНТОВ
В данном разделе более конкретно изучается связь между фундаментальными уравнениями и макроскопическими уравнениями эволюции. Как отмечалось выше, свойства распределения вероятностей определяются совокупностью всех его моментов
266
Глава 10
[см., например, уравнения (10.22)]. Особый интерес представляют первый и второй моменты. В некоторых случаях, когда распределение имеет вид резкого пика, первый момент — он же среднее значение —дается непосредственно максимумом распределения вероятностей:
(ХЛ=*Х?. (Ю.31)
При этом можно ожидать, что как (Хд, так и ХТ будут хорошо представлять эволюцию макроскопических величин. Ипое положение возникает в случае распределения с несколькими пиками. В таких системах, по-видимому, результаты макроскопических
наблюдений связаны с наиболее вероятными значениями X? и с дисперсиями вблизи этих значений, а не с (X?), (ЬХ^) и т. д. Однако, выделить эти величины в фундаментальном уравнении трудно. Гораздо легче получить из него результаты, описывающие эволюцию моментов распределения вероятностей.
В данном разделе мы выведем точные уравнения для нескольких первых моментов, исходя из фундаментального уравнения (10.2), а также обсудим условия обрыва последовательности уравнений, которые позволят получить информацию о поведении первого и второго моментов. В последующих разделах на некоторых примерах иллюстрируется эквивалентный метод, основанный на представлении производящей функции.
Сначала рассмотрим уравнение для (Х,}. Умножим обе части уравнения (10.2) на А",- и просуммируем по всем значениям Х^ Кроме того, в первом члене правой части выполним такую же замену переменных, к которой мы прибегали после уравнения (10.24). В результате получим
р {*л
Согласно соотношениям (10.8) н (10.22), в правой части этого уравнения стоит статистическое среднее первого момента о,,,-:
