Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
йР{Х,П ^=ьгАМр(Х_ I ()-к,АМР(Х, 0 +
+ Х<*+ 1)(*+2)/>(*+2, ()-^-(Х-\)ХР(Х, I).
(10.56)
Теперь можно перейти к уравнению для производящей функции /(з, /) [см. также уравнение (10.26)]:
~ = к\АМ (5 — 1) / + ~ (1 — я2) 4^5-. (10.57)
Тот факт, что полученное дифференциальное уравнение в частных производных является уравнением второго порядка и имеет нелинейные коэффициенты, объясняется бимолекулярным (нелинейным) механизмом реакции.
Уравнение (10.57) допускает точное стационарное решение, которое можно найти следующим образом [250]. Разделив обе части уравнения на (1—5), с учетом соотношения (10.556) получаем
(1 2^ = 0. (10.58)
Для решения этого уравнения необходимо выполнение двух граничных условий. В соответствии с определением производящей функции (10.21) (в;! не может превышать единицы, иначе выражающий функцию г ({«!¦}, 0 ряд станет расходящимся. Таким
276
Глава tO
образом, граничные условия следует искать в точках s = 1 и л =—1. Одно из этих условий следует непосредственно из соотношения (10.23): /(1)= 1. Чтобы найти второе условие, рассмотрим величину
\{-\)=*%.{-1?Р{Х)= Z Р(Х)- Z Р(Х).
X=q Л четное X нечетное
С другой стороны, записывая фундаментальное уравнение (10.56) последовательно для dP(0)/dt, dP{\)/dt и т. д., можно видеть, что при X ->¦ <х> вероятности четных и нечетных чисел частиц X одинаковы. Отсюда можно заключить, что /(—1)=0.
Теперь введем новую переменную z=2-(s+l) и запишем
уравнение для g(z) = f(s):
dz* z § U'
где
g(0) = 0, (Ю.59)
Решение уравнения (10.59), удовлетворяющее данным граничным условиям, имеет вид [261J
где ?i — функция Бесселя мнимого аргумента. Поскольку функции Бесселя удовлетворяют рекуррентному соотношению
Z4l 7v <г) + V/-v и = 2/v~l fe).
имеем
іу,-.(Лл _адді*г>
^) — \ds 2\dz /,(«„)
В макроскопической системе Хо —очень большое число. Поэтому в последнем равенстве можно воспользоваться асимптотическими разложениями /0 и /ь При этом получаем
»=Ч1+^+0(і)> (10'61)
Этот результат показывает, что макроскопическое описание, приводящее к уравнению (10.55), справедливо вплоть до членов первого порядка. Чтобы вычислить дисперсию флуктуации, из точного решения (10.60) можно найти вторую производную [.
Описание флуктуации в терминах процессов рождении — гибели
277
Однако можно также рассматривать уравнение первого момента (10.32) для данной модели. В стационарном состоянии имеем
{щ (Х)) = 0
или
к1АМ~ь2(Х(х- 1)>=0.
Вновь используя равенство (10.556), находим
(X2)-Хо = (Х). (10.62)
После подстановки выражения (10.61) в (10.62) получим
(бХг)^(Г)-(ЛТ=-^ + 0(1) = -^+0(1). (10.63)
Выражение (10.63) несовместимо с пуассоновским распределением и, следовательно, с формулой (10.53) тина эйнштейновской. Множитель 3Д перед <Х> зависит от выбора модели. Флуктуации рассматривались также во многих других нелинейных моделях с одной случайной переменной [116, 272, 397, 399}. При этом были получены пспуассоновские распределения, для которых среднеквадратичные значения флуктуации зависят от отдельных кинетических стадий. Таким образом, если при описании нелинейных неравновесных систем использовать фундаментальное уравнение для процессов рождения — гибели, то получить какое-либо утверждение, сравнимое по общности с соотношением (Ю.53), не удается. Этот очень важный вопрос мы обсудим в дальнейшем-
10.6. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СЛУЧАЙНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ: МОДЕЛЬ ЛОТКА - ВОЛЬТЕРРД
Следующая группа примеров характеризуется наличием более одной переменной. Основная трудность здесь состоит в том, что найти точное решение фундаментального уравнения уже не удается. Поэтому, чтобы проанализировать эффект флуктуации, мы вынуждены обращаться к асимптотическим методам (см. разд. 10.3).
Для иллюстрации этих методов мы выберем модель Лотка — Вольтерра, обсуждавшуюся в рамках макроскопического описания в разд. 8.2. Такой выбор обусловлен двумя причинами. Во-первых, эта модель имеет большое значение при рассмотрении задач о взаимодействующих популяциях (см. гл. 18). Во-вторых, как было показано в разд. 8.2, в этой модели стационарные н периодические решения кинетических уравнений не являются
218
Глава 10
асимптотически устойчивыми. В этом отношении система Лотка— Вольтерра может рассматриваться в качестве прототипа любой системы в окрестности точки потери устойчивости.
Как и в предыдущем разделе, будем считать, что химическая реакция
А + х-^*2х,
X + У 2У,
У + В-^-Е + В (10.64)
определяет процесс рождения — гибели в пространстве чисел частиц. В приведенной форме, после суммирования но начальным и конечным произведениям переменных {А, В, Е}, фундаментальное уравнение (10.2) принимает вид*)
аР{Ха/' 1)- = А(Х — 1)Р(Х — 1, У, ()- АХР(Х, У, () +
4- (х + і) {У ~ і) Р(х + і, у - і > 0 - хур у , 0 +
4 В (У 4 \)Р(Х, У 4 1,і) — ВУР(Х. У,1). (10.65)
Для простоты все скорости реакций положены равными единице. В представлении производящей функции
Р(*х. &г,1) = у^№Р(Х,Г,1) фундаментальное уравнение записывается в виде
1Г-(Ч + 1)(ті-І)д^- + іа+1)Л^--лВ-|5-, (10.66) где вместо 5Х, 5у использованы переменные
