Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
С1)
Если положить a = V, т. е. применить формулу (66') к скоростному полю, то левая часть представит секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность о, а правая часть определит скорость увеличения объема т жидкости со временем; естественно, что скорость увеличения объема равна секундному объемному расходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.
Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим, что равенство (66) можно представить символически так:
J п • a da = J V • a dv, (67)
а т:
как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле соответствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для дальнейшего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному векторном» полю постоянного по величине и направлению вектора а. Тогда получим
J п • a da = О,
ш
или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла,
а • J n da = О,
а
откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для всякой замкнутой поверхности можно написать:
Jndo=O, (68)
а
Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти, Например, в ранее указанном руководстве по векторному исчислению Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке Формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве нУлю геометрической суммы векторов, представляющих площади гра-Ней замкнутого многогранника.
68
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. I
Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные только что выведенным формулам (62) и (66).
Рассмотрим в поле скалярной функции <р произвольный малый объем Дт (рис. 11) с поверхностью Да и рассечем его двумя смежными поверхностями уровня <» и <5 ~f ~ dn, находящимися друг относительно друга на расстоянии dn, отсчитанном по внешней нормали и, проведенной через точку M первой поверхности уровня. Рассмотрим поверхностный интеграл
J п'<о da',
/vL t ^— 1'ff LCtf^ j і an
/ j ____
Mf Tan r ^ ? I
распространенный на поверхность, окружающую объем dz, заключенный между проведенными поверхностями уровня и равный, в силу малости всех величин, про-й0\ J j изведению площади основания на
высоту dn; под знаком интеграла п'—внешняя нормаль к поверх-Рис. 11. ности интегрирования, do'— эле-
мент площади поверхности.
Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элементов, рассчитанных по площадкам fvif-\-df, и, кроме того, интеграла по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверхности До. Будем иметь:
J-
со da':
¦ п (о4-dn)(J-Ydf)-jT J n'<?da' =
(бок)
==gn/d«4-«(nrf/-f JVda) ,
(бок)
так как можно считать, что по боковой поверхности рассматриваемого объема ф сохраняется. постоянным; с другой стороны, применяя к той же поверхности формулу (68), получим
— n/+n(/+d/)+ Jn' da= О,
(бок)
откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид:
J* п'<в da' = grad yfdn =» grad <о dz. I Ilj ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
69
Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объемов, образованных из объема Lz сечением его поверхностями уровня функции 9, и просуммируем эти равенства по всему объему Az; тогда в сумме
2 fn'cpda'
останутся лишь слагаемые, относящиеся к боковым пояскам поверх* ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем Az, т. е. не что иное, как поверхностный интеграл
J п'<р do'.
Ao
Справа будем иметь объемный интеграл
grad ® dz,
который в силу мглости объема At будет равен grad 9 dx = grad 9 • Az -[- 8 Ах,
J.
причем е 0, когда Lz ** 0.
Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих) искомое интегральное представление градиента
ч) = 2 TOt V
1 Г
grad9= Iim j- node (69)
Aa
и путем, совершенно аналогичным примененному для операции дивергенции, выведем вторую интегральную формулу:
J П9 da = J grad 9 dx. (70)
о z
Аналогичного типа формулы можно установить и для операции вихря. Рассмотрим в поле квазитвердого вращения жидкости с угловой скоростью (о, равной по предыдущему [формула (51) § 10]
~2 rot V» малый цилиндр с осью, параллельной оси вращения,
Радиусом г, высотой h, объемом и поверхностью, соответственно равными Дт и До (рис. 12). Составим поверхностный интеграл от 70
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. I
векторного произведения орта внешней нормали п к поверхности этого цилиндра на вектор вращательной скорости V. Тогда, выбирая, как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии ds друг от друга, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся, что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему:
J пXVdo= J (HXV)Ads,
(бок)
так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно сократятся.
