Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор пХV параллелен вектору со и равен по величине V = шг, будем иметь с точностью до малых высших порядков:
J пХ Vdo=Cor J hds = 2itrsAw = rot V Дт.
До (бок)
Отсюда следует точное равенство:
rotV= Iim — Г nXVdo, (71)
Да
обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и произвольный закон стягивания поверхности До, окружающей элементарный объем Дт, к данной точке пространства, получим следующее интегральное определение вихря вектора:
rota= Ііш і- n X a do. (72)
Дт->0
Да
Пользуясь этим определением, легко получить выражение вихря в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же приемом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах. Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми сторонами А.х, Ay, Az (рис. 13). Тогда, проводя непосредственное интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу малости граней:
f nXado=[-(iXa) + iX(a + ^Ax)]AM* +
Aa
-H [ -(j X а) + j X (а + g Ay)] д* Az +
— (кХа) -J- кХ^а -f-^5. Аг)]Дх Ay б. м. выс. пор. = ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
71
Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь __. . wda і . V/, da , , . . да
dz '
Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования векторного произведения, найдем:
(rota)a
daz day
- ду dz '
_ daX da,.
— dz dx '
daV dax
~ dx'
(72')
Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих формул при ax = и, av = V, az = w.
Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе интегральных формул для дивергенции и градиента, из равенства (72) получим
J n X ads = J rot a dz. (73)
CT %
Здесь, согласно праййлу (51), вновь оправдывается символический прием для запоминания инте- 1 тральных формул: орт п в поверхностном интеграле заменяется оператором V в объемном
J nXado= JvXadt. (74) У
от д
Интегральные формулы (66), (70) и (73) будут играть важ-
ную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа, а также и в некоторых кинематических вопросах.
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки
Как было ранее (§ 10) уже выяснено, элементарный объем жидкости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве, непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое, вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем скорости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине величины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную 72
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. I
совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости, введем в рассмотрение векторные линии поля угловых скоростей вращения «о или, что все равно, векторные линии поля вихря скорости rot V = 2(0. Эти векторные линии назовем вихревыми линиями или вихревыми нитями.
Напомним общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае.
Рассмотрим в данный момент t вблизи точки M (рис. 14) вращающийся элементарный объем St и отметим вектор угловой скорости (О его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый отрезок MM', • проведем в тот же момент времени t вектор «о' угловой скорости вращения элементарного объема в точке Mf, затем вектор
угловой скорости со" в точке М" и т. д. Полигон MM'М"... в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, расположенные вдоль линии, вращаются вокруг касательных к ней в соответствующих точках. Вихревая линия играет роль криволинейной оси вращения этих объемов. Представим себе элементарные объемы жидкости как „бусинки" с заранее проделанными в них отверстиями для продевания нитки. Непрерывность поля скоростей в жидкости приводит к такой ориентации „бусинок", что нитка, продетая в одну „бусинку", попадет точно в отверстие следующей „бусинки" и т. д. Нитка, проходящая через отверстия „бусинок" (рис. 14, справа), дает представление о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок" отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов. Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения. Расположение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение.
Вектор co = -g-rotV представляет мгновенную угловую скорость
некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементарного объема.
Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
73
жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно перпендикулярные оси (главные оси тензора скоростей деформаций), скорости скошения которых равны нулю. Такой, для разных точек пространства различный „жесткий скелет" будет в данный момент времени иметь угловую скорость, как раз равную1
