Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 29

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 231 >> Следующая


w = у rot V = Y Я.

Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным приемом получим вихревые трубки конечного размера.

Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца: поток вихря вектора через сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную вихревую трубку (рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от

і

п

Рис. 15.

нее двумя произвольными сечениями oj и o2 некоторый конечный объем -с; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную контурами этих сечений, обозначим через аб0К. Тогда, применяя к выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66), получим для вектора rota:

J (rot ъ)п, da-}-J* (rot а)„/ do -f- j* (rot а)и» do = J div rot a dx,

гтт»\4м- Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. ОГИЗ

I ПИ, 1941, стр. 13. 74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. I

где а' — внешняя нормаль к поверхности интегрирования; заметим, что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу, третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать,

что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как

*

... д /даЙ дагл д /дах даг\ д ,Hay дах\

dlv rot а = Tx fe~ Ш+ а? Ы-dl)+- Tz Ы-w) Обозначим

через п нормаль к поверхностям сечений oj и oq, направленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для сечения O1 и наружу — для за; тогда найдем

J (rot а)и da = J (rot а)и do, (75)

а, ст

что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную для любого векторного поля. Полагая:

a = V, rot a = rot V = й, -jrotV = »,

получим гидродинамическую форму равенства (75):

J Qn da = const или J ши do = const. (76)

в в

Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая формулировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки.

Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям трубки, и, в силу малости площадей этих сечений da1 и do2, написать:

(U1 daj = ш2 do2 или ш do = const. (76')

*

Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки угловая скорость вращения больше, и наоборот.

Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихревой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности § 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ

75

вихревой трубки и положить

і = J (rot а)п da.

a

В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки понимают поток вихря скорости

і = f (rot V)„ da = J Qn da. (77)

a a

В некоторых курсах под интенсивностью вихревой трубки скоростного ПОЛЯ ЖИДКОСТИ понимают поток вектора угловой скорости

i'= J CDn do = і. L (77')

с

Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окон- Рис. 16.

чания вихревой трубки в жидкости, так как

при уменьшении площади сечения трубки до нуля угловая скорость

превратилась бы в бесконечность (рис. 16). Как показывают опыты, вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо заканчиваются на стенках сосудов или на свободных поверхностях (рис. 17).

Подчеркнем еще раз, что вторая теорема Гельмгольца говорит об одинаковости потока вихря вдоль трубки в данный момент времени; о том, будет ли интенсивность трубки постоянной во времени или нет, можно судить лишь на основании рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.

§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об изменении циркуляции скорости во времени

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить скорости частиц жидкости. Естественно встает вопрос об установлена связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости, V 76

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ

[гл. I

Для решения этого вопроса введем характерную для поля скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии; понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных понятий современной гидромеханики.

Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру. Примем обозначение (рис. 18):

Б Б

Гдв (a) = J а • dr = Г a cos (a, dr) ds —
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed