Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 10.
div V =
* Iim г .—.-Дт о hx Д-У Дг
[(" + Ir a^) a^ ^2~~и АуДг+
++ - Jj; Ау) ^xAz—V Ax Az -)-+ (та -[- — Дг) Ax Ду — w Ax Ayб. м. выс. nop.J,
откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в прямоугольных декартовых координатах:
div V =
ди . dv . dw г 757 Г
дх ~ ду
дг
(63)
По заданным уравнениям поля скоростей div V в данный момент легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем I Ilj ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 65
ее символический вид
div V = V • V. (64)
Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и вспоминая (24), получим формулу (63).
Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая общая дифференциальная операция, совершаемая над любой векторной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо вектора V надлежит вставить дифференцируемый вектор а. В этом случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а выражение
J ап do = J п • a da,
о ст
где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой) поверхности а, называют потоком вектора а через поверхность о. Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность а в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости сквозь сечение з, что приводит к ранее данному определению дивергенции скорости. %
В общем случае дивергенция вектора определяется как предел отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция, т. е.
diva= Iim — I anda= Iim-^- I n-ada. (62')
А а До
Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных
координатах будет, аналогично (63), иметь вид:
^. = ? + ?? + ?. (63')
Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно повторить для элемента объема в любой системе криволинейных координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить, таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в криволинейной системе координат; это будет сделано далее р гл. VII.
Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего интегральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским академиком М. В. Остроградским (1801—1861).
Разобьем любой конечный объем і на большое число малых объемов Дх; обозначим поверхность, ограничивающую т, через о, а Дт;—через
5 3«. 1841. Л Г. Лоіцяксгав. 64 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. I
Тогда, согласно (62'), будем иметь для элементарного объема Д-г:
J п • a do = div а • Де + е • Дс, (65)
Aa
где s — малая величина, идущая к нулю с уменьшением Дт.
Просуммируем обе части равенства (65) по всем объемам Дт, образующим конечный объем; получим:
2 JVado-=Sdiva-Дт + 2е.Дт.
До
В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы интегралов, взятые по общим границам двух соседних малых объемов, так как сама вектор-функция а в силу непрерывности имеет одинаковое значение на границе со стороны какого объема не совершался бы подход к граничащей поверхности, в то же время внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных между собою по величине и противоположных по знаку, сократится. Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним частям поверхности о, окружающей объем т, т. е. поверхностный интеграл по поверхности о. С правой стороны, если устремить к нулю малые объемы Дт, останется объемный интеграл от diva, взятый по объему т, так как второй член справа, как сумма малых четвертого порядка, обратится в нуль. Таким образом, получим интегральную формулу:
J п • a da = J div a dz (66)
или
J ап da = J div a dx. (66')
Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный интеграл от дифференциального оператора div а векторного поля через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд кажется странным, что при любом виде векторной функции а (подчиненной лишь ограничению .непрерывности и существования первых производных по координатам) объемный интеграл, вычисление которого требует знания функции во всех точках внутри объема, выражается .общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция, а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря определенный интеграл от производной функции, получают разность I Ilj ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
67
значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был непрерывный закон изменения функции внутри интервала.
Формула (66) в декартовой системе координат принимает обыч- • ный вид формулы Остроградского:
J j №as cos ("» -*¦) ~f" cos (п, у) -j- йг cos (п, do =
