Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и=tto + (? <А - л'о>+-л) + (I)0 (*-?),
+sl^-^ + g)^-^) + о), (43)
Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом нуль являются постоянными величинами или функциями только от времени, проекции же скорости и, V, w рассматриваемой точки M являются линейными функциями координат х— х0, у—у0, г—Z0 точки M относительно точки M0.
Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоростей в общем случае движения твердого тела:
и = u0-\-u>y(z —Z0)-шг (у —у0), I V = V0A-Uz(X-X0)-0^(2 — 20), I (44)
w=w0-\-<ox(y—y0)—^(х — х0), J
или в векторной форме
V = V0 + <ox(r — r0), (45) СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
57
W=I ret V
где ©(«д., о>г)—вектор угловой скорости тела в данный момент, одинаковый для всех точек тела (рис. 7), т. е. не зависящий от век-хора-радиуса г(х, у, г) точек тела или от вектора-радиуса_г0(х0,_у0,г0) полюса О, a V0 (и0, v0, W0) — скорость полюса, так же как и угловая скорость, зависящая только от времени.
Пользуясь этим, составим разности накрест взятых производных от проекций скорости по координатам и легко найдем"
1 /dw dv\ dz)'
1 /ди dw\ T\dz~dx)'
2
/dv_da\
W dy)'
(46)
Рис. 7.
после чего поле скоростей (44) примет вид:
¦ 1 /ди dw\ ,
а=tto + 2 UT- diUz-
, 1 /dv ди\ ,
, 1 /dw
® = (W
dv\ ,
-Jo)"
LC
2 V
dJL (и —
дх ду J0 /dw ,
Uj ~~ dz A Z
Ь>—Уо)>
(2-?),
2 \dz дх Ju
(х x0);
(47)
индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют одинаковые значения во всех точках.
Сравнивая (43) и (47), видим, что поле скоростей в окрестности данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле (условимся называть эту часть квазитвердым движением), и 2) деформационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жидкости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь:
и — Мк.т Идеф, V — -VE. Т -f- Идеф,
® = %, + «'деф.
(48)
Система равенств (48) заключает в себе проекции «Е.т, %.т, wE.r С|{орости VK.T в квазитвердом движении, определяемые формулами (47), и проекции «деф, гідеф, Тодеф скорости деформационного движения Удеф, 58
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
вычисляемые как разности и—и,. т, г» — vKr, w—гг>к.т и равные: /ди\ , х 1 Zdv , ди\ , ч , 1 Zdu , dw\ , ч
1 Zdv .ди\, ч Zdv\, Ч,1 Zdw .dv\, _ ч 1 /да . , . 1 /dw . dv\ , х , Zdw\ , х
(49)
Отсюда следует первая георема Гельмгольца: всякое движение жидкости или газа в окрестности ^ некоторой точки (полюса) можно разложить на квазитверЗое движение, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса, и деформационное движение.
Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части, отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы сохраним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.
Вектор Q с проекциями:
dw dv 1
2"?—ду дг > 0 _„ _ди dw
q _2Ш __^lL
г z дх ду'
(50)
равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем" или „ротацией" скоростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать символом rot V (иногда пользуются еще символом curlV). В рассмотренном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент времени, в общем же случае любого скоростного полн этот вектор будет изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую дифференциальную операцию, произведенную над векторной функцией V; аналогичную операцию можно производить над любой другой векторной функцией, образующей поле. Так, например, в общей механике условие потенциальности силового поля F(Fx, Fy, Fz) сводилось к выполнению равенств:
dJj (Уу
ду дг ' дг "дх"' дх ~ ду ' т. е. к равенству нулю вихря силы. СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
59
Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Q или проекции вектора угловой скорости W можно предложить следующие простые символические формулы:
G = rotV = VXV, ]
1 !„„„ ) (51)
2
w = -i.Q = ^-rotV==^VXV, j
составление проекции которых по правилам векторного произведения сразу дает (50) и (46).
Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде:
1
VK..1 = V0 + -i-(rotV)0X(r-r0),
(52)
где под (rot V)o следует понимать значение вектора rot V в точке M0.
Что касается вектора скорости деформационного движении VjieiJ1, то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора на тензор [§ 7, равенства (20) и (21)], можно представить в форме
