Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 31

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 231 >> Следующая


охватывающему вихревую трубку (например по контуру C1, охватывающему вихревую трубку и ограничивающему поверхность O1 сечения трубки на рис. 15).

Если в односвязном 1 пространстве заданы (рис. 22) несколько изолированных вихревых трубок с ин-тенсивностями I1, г"2, ..т. е. таких, что повсюду в области вне трубок (на поверхности о вне заштрихованных площадок O1, о2, O3,___) вихрь

вектора равен нулю, то циркуляция вектора (в частности вектора скорости) по контуру, опоясывающему рассматриваемые вихревые грубки, равна сумме интенсивностей этих трубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22:

V • dr = I1 -j- 4 -f" h ~Ь

с

юоваш vosw;

Рис. 21.

Рис. 22.

ст е. таком, что любой замкнутый контур, расположенный в этом про-Радстве, может быть непрерывной деформацией сведен в точку (подробнее этом будет сказано в начале гл. V). 80

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. I

В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематикі сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего^reo-

рему об изменении во времени g. —-""""1? циркуляции скорости по движу-^ щемуся вместе с жидкостью

¦/ контуру.

Г / Рассмотрим некоторую „жид-

/ / кую" линию AB (рис. 23),

направленный элемент которой обозначим через 8г. Циркуляция скорости по этой кривой, равная

TAB(V) = JV-Sr,

^ будет изменяться во времени

А как в силу перемещения и

деформации контура (конвек-рис 23 тивное изменение), так и из-за

нестационарности поля (локальное изменение). Определим индивидуальную производную по времени от этой циркуляции. По определению интеграла, производная от него будет складываться из двух частей:

в в

|r-(V) = /?..Sr+ Jv-^r. (83)

А А

Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию ускорения по контуру AB:

в в

J^. Sr =C V-Sr = Tab(V). (84)

А А

Второй' интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок взятия операций производной по времени ~ и дифференцирования в пространстве S может быть изменен:

|8г = 8? = 8У. (85)

Действительно, рассмотрим два последовательных положения жидкого отрезка (рис. 23): Sr — в момент времени t и Sr-f-dSr— в момент t-\-dt. Перемещения концов жидкого отрезка будут соответственно: Mdt (начало отрезка) и (V -f- 8V) dt (конец отрезка). § 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ 81

Из векторного четырехугольника MMiAliM сразу следует V dt+ Sr -J- d Sr = 8f -J- (V + 8V) dt,

или, после простых сокращений, искомое равенство (85).

Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85)

получим:

в в

Ii1AH(V) = Tab(V) j- (V SV = TAB(V) -f JV^J) =

А А

= IAB(V) +у(Vin-V\).

Предположим теперь, что контур AB замкнут, т. е. точки А и В совпадают. Тогда предыдущая формула дает

^T(V) = T(V). (86)

Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто кинематической, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от характера приложенных к жидкости сил. В динамике будут изложены важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия, при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во времени; с кинематической точки зрения важна сама связь (86) между циркуляциями скорости и ускорения.

Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы настоящей главы основаны лишь на допущении о непрерывности поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых производных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложенные в этой главе, верны для любой сплошной среды.

6 Зак. 1841. л г. ЛоЙшшсКиЙ. fflABA И

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметричность

В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике, применяется общий прием замены значений физических величин, относящихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением этих величин в пространстве.

Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Дт, содержащий внутри себя данную точку M пространства, и пусть масса этого объема будет Дт\ скалярная величина, определяемая предельным выражением

«• ^fn ...

P-=Iim-, (1)

причем предполагается, что при стремлении объема At к нулю точка M все время остается внутри объема, называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке AL

Обратную величину v = у называют удельным объемом. Плотность

движущейся или покоящейся жидкости (газа) зависит or различных обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения среды. В конечном счете плотность представляется некоторой функцией координат и времени

р==р(.у, г; t)

и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным.

В* технических вопросах часто вместо плотности предпочитают иметь дело с удельным весом, определяемым как предел отношения веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed