Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Вектор напряжения рп, как уже упоминалось, зависит от ориентации площадки в данной точке Al. Попытаемся определить такую величину, которая была бы однозначной функцией положения 86
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
точки Al, т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и вместе с тем служила бы для определения напряжения рп в зависимости от заданного орта п площадки.
Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале § 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели не только от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства.
Рассмотрим вырезанный в среде элементарный ^тетраэдр AlABC (рис. 25), с вершиной в данной точке Al, основанием—треугольником ABC, образованным пересечением наклонной плоскости тремя координатными плоскостями и имеющим площадь don, и боковыми гранями в координатных плоскостях с площадями tda^, day, da,,. § 14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
87
Значок при элементарных площадках, так же как и при напряжениях, приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение движения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых пусть равна dm; будем иметь
Vc dm = F dm -J- р„ dcn — рт dar — p?y day—p? da,, (6)
где Vc-BeKTop ускорения центра тяжести тетраэдра, F — плотность распределения объемных сил в жидкости, ри, рж, ру, рг — векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок dan, dax, day и dae, т. е. с той стороны, куда направлены векторы n, I, j и к (на рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок і dax, j do у, k dae и n dan); в правой части уравнения (6) при последних трех членах стоят знаки минус, так как внешние стороны площадок dax, doy, daz при принятом направлении ортов осей оказываются отрицательными.
В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины третьего порядка- малости, содержащие элемент массы, пропорциональной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами, пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь
Vn <К = рж dGjc ~Ь vy d^y -f pz dQz- (7)
Замечая, что:
.—- ч
dax = dan cos (n, х) = nw dcn т. day = da n cos (n, у) = Hydan, J-. (8)
daz = dan cos (n, z) = ne dan, {
получим:
Pn = ».-«Рж + nyV,j + 'hVz, (9)
или в проекциях на оси декартовых координат:
Pmc ri^r ^xVxx "I- ЧуРуа; "f- ^zPZsqi
Pmj = пхРху + ПуРуу + 'hPzy, ; . (Ю)
Pnz = nxVxz + ПуРуг + >hPzz-
Припоминая определение напряжений Pa., p?/) ps, заметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение; так> например, Pcce обозначает проекцию на ось г напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной оси х. 88
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
Величины рхх, Pyy, Pssz называют нормальными напряжениями, Pxijy Рут Pzx-•¦—касательными напряжениями.
Система равенств (10) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются простой линейной зависимостью через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти величин:
причем заЬисимость эта совершенно аналогична системе равенств (20) § 7.
Вспомним данное в § 7 гл. [ общее определение тензора 2-го ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены на проекции физического вектора по формулам типа (20) § 7 гл. I или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяю г проекции также физического вектора.
Согласно этому определению, совокупность девяти напряжений (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной буквой P и назовем тензором напряженности или тензором напряжений.
Вектор напряжения рп, приложенный к любой наклонной площадке с ортом п, определяется как произведение этого орта на тензор напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме,
Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное множество векторов напряжений рп, зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10) или (12) через значение тензора напряженности в данной точке. Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно, от выбора координат.
