Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим изменение d\I скорости данной индивидуальной частицы M за время dt, или, как иногда для краткости говорят, индивидуальное изменение скорости частицы.
Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматривать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения, происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие нестационарности поля и равного
ям
(dV)ms = ^dt, (36)
и 2) конвективного, "являющегося следствием неоднородности поля скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время dt Рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через ds 54
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
дифференциал дуги траектории, будет равно:
dV
(rfV)b OHB = — ds
dV ds ., ..dV .,
, „„ —-J- .-rrdt= l/-r- dt,
ds ds dt ds '
(37)
и.іи по формулам (28) для производной вектора по направлению (орт касательной к траектории, очевидно, равен VjV):
(dV)Kom = • v) V dt = (V • V) V dt.
Формула полного ускорения будет:
• rfV^ (гіУ)лок + (гіУ)конв dV dt
(V-V)V.
dt dt В проекциях на оси декартовых координат будем иметь:
(38)
(39)
Il du ~dt Il du . du і dx ' dy du dl'
Il .-T1 dv W Il + U dv . dv . dv dz'
Il dw It Il U dw . dw і dw 17'
(40)
Производные типа
du dv dw
It' dt' ~df'
вычисленные вдоль траектории
индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40), называют, как уже ранее упоминалось, индивидуальными, или, иногда, субстанциональными производными.
Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32) и (33), вычисляя полные производные по времени от проекций скорости:
У _du_ди ,ди dx ^du dy . ди dz_
х ~dt ^ dt ^Jx ' H' dy "dt 57 "dt ~
ди . ди , ди , ди
и т. д.
dt ' дх' ду ' dz
По заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение легко вычисляется.
Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тензора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного поля, обозначение D, причем таблица (матрица) составляющих тензора будет иметь вид:
/ ди ди ди_\ дх' ду' dz dv dv dv dx' ду' dz dw dw dw_
\ W' dy' J
D ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
55
получим формулу ускорения в форме
(39')
подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании конвективного ускорения.
Локальная часть ускорения равна нулю при стационарности скоростного поля, конвективная часть равна нулю, если поле однородно. Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое, в ускоренном поступательном движении, при котором скорости всех ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени; в этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное ускорение сводится к локальному.
Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости, движущейся поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускорения, ка.с это имеет, например, место при явлениях удара тела о поверхность жидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после того, как от действия локальных ускорений возникнет неоднородность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит в основе теории удара.
Разложение ускорения на локальную и конвективную части может быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть, например, какдому положению частицы жидкости или газа в пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина 9 (например, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины ф образует некоторое поле, и при движении жидкой частицы величина © будет изменяться как в силу нестационарности поля (локальное изменение ©), так и вследствие перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля в другой (конвективное изменение <р). Полная индивидуальная производная по времени or величины ср будет складываться из локальной производной д<? 'dt и конвективной производной, равной [ср. с (37)]:
скалярной
S-S-Vg=Vf^ .grad©)^V.grad-P = (V-V)?.
(41) 56
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
Для любой векторной или тензорной функции а или Т, связанной с движущейся индивидуальной частицей, получим:
da dt'' dT dt :
-HV-V)a,
да
: dt
,^f (V-V)T.
(42)
§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки. Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций
и его компоненты
Желая изучить скоростное поле движущейся жидкости в деталях, применим обычный прием математического анализа — рассмотрим в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности какой-нибудь точки M0 пространства, причем координаты и все величины, определенные в этой точке, будем отмечать индексом нуль.
Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся в окрестности точки M0, в ряд, будем иметь с точностью до малых высших порядков:
