Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(31) ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
51
Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа пля индивидуально движущейся частицы жидкости, называют индивидуальной или еще субстанциональной (относящейся к определенной частице субстанции).
Другой, получивший более широкое применение прием задания движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, z точек пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин t х, у, z называют переменными Эйлера; движение среды, по Эйлеру, задается так:
и = и(х, у, г; (),
v — v(x, у, z; t), (33)
w = w{x, у, z; t). ,
В методе Лагранжа величины х, у, z являются переменными координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться.
Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на поверхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок, частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка изобразится в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент производства снимка.
По самому определению, линия тока поля не совпадает с траекторией частицы> представляющей пространственный след движущейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения линии тока.
По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
_^__ЬУ 8*__(ЯЛЛ
U (х, у, г; t) V (х, у, г; t) W (х, у, z; t) ' к >
причем разыскиваются конечные связи между переменными х, у, г, а время t играет роль фиксированного параметра; величины же 'Ix, У> Sz представляют проекции произвольного бесконечно малого отрезка Sr, направленного вдоль линии тока.
противоположность этому, проекции направленного элемента dr траектории dx, dy, dz представляют проекции перемещения частицы 52
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. 1
жидкости за время dt, т. е.:
dx = udt, dy = v dt, c'z = w dt;
отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений траектории:
dx _ dy _ dz
и (х, у, z, t) V (х, у, z; і) w (х, у, z; t)
причем в этой системе уравнений координаты х, у и z являются неизвестными функциями одного аргумента — времени.
Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока и траектории не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля, г. е. случай, когда время t не входит явно в задание скоростного поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35), если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени dt, не входящего явно при стационарном движении в остальные уравнения системы (35). Отсюда следует, что при стационарном движении, т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока совпадают с траекториями.
К этому результату легко придти и из геометрических соображений. На рис. 6 показаны построения линии гока Л1МгМ^Л1ъ. ..
и траектории MM'М"M'"..., проходящих через одну и ту же точку М. Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок MM1, через точку M1 проводим вектор скорости V1, соответствующий ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
53
тому же моменту времени, на векторе V1 откладываем отрезок MlMa и скорость V2 точки M2 и т. д., причем все это делаем в один и т0т же фиксированный момент времени. При построении траектории вновь отмечаем скорость точки M и, пользуясь произволом в выборе
интервала времени, откладываем на ней отрезок MM' = MMt; по прошествии времени dt, если поле не стационарно, скорость V точки M', несмотря на совпадение точки M' с точкой Mx, уже не будет равна скорости V1 точки M1 в момент t. Следовательно, траектория отклонится от линии тока, и кривые разойдутся в пространстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время изменилось на dt, скорости совпадающих точек M' и Mt будут одинаковы, точки M2 и М", так же как их скорости, совпадут, и траектория ничем не будет отличаться от линии тока.
Векторная трубка, образованная линиями тока, называется трубкой тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, образующих в некоторый момент замкнутый контур, называется струей. Из предыдущего следует, что п?и стационарном движении трубка тока и струя, выходящие из одного и того же замкнутого контура, совпадают.
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы на локальную н конвективную составляющие
При лагранжевом представлении движения (31) ускорение индивидуальной частицы легко находится повторным дифференцированием по времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е. поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве, в котором движется точка.
