Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
Oi каких-нибудь, в часшости декартовых, координаї и времени: 1 в = в (х, у, z; t) = в (Af; t), J а = а (*, у, г; t) = а (Ж, ^
Условившись в этих простейших определениях, поемоірич ICIiepi , каким образом характеризовать пространственную изменчивость величин поля (изменение со временем величины в данной точке пространства характеризуется, очевидно, частной производной от этой величины по времени) Для этого следует упорядочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив эти величины сообразно некоторому признаку: численной их величине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции.
Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями, вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.
Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции »(х, у, г; t) в данный момент времени, если поле не стационарно, и в любой момент, если поле стационарно, будет
?(х ,y,z;t) = C, (2)
где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений. Если задано значение величины ср в некоторой точке M0 (X0, у0, Z0) и в данный момент времени t0, то уравнение поверхности уровня, проходящей через точку M0 в момент будет, очевидно,
О О, У, г; t) = C0 = <а O0, у0, z0; t0) = о (M0, Q (3)
Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве к более простому—изменению ее при переходе с одной поверхности уровня на другую.
Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3). Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю, где
® (х, у, z, t) > C0,
и внутреннюю, где
® (х, У, z; t) < C0.
Термины эти, конечно, условны, так к т к, например, если поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале координат, го при выборе функции
<Х> (х, у, z) = Xs-j~y2 -f- Zi-G2
1 Буква M символически представляет здесь совокупность координат точки М, если поле стационарно, то время t в характеристике функции отсутствует. §61
ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
41
внешняя область но только что введенному определению совпадает с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же
положить
'¦? (-*"> У, г) = а2
-у
го предыдущее определение с геометрическим не совпадет.
Условимся положительное направление нормали, проведенной через некоторую точку данной поверхности уровня, выбирать в сторону внешней области и называть такую ось внешней нормалью; противоположно направленную ось — внутренней нормалью.
Проведем (рис. 1) две смежные поверхности уровня CS — С и B=C' и через точку M L одной из них — внешнюю нормаль с единичным вектором-ор-том п и какую-нибудь наклонную ось с ортом 1; отрезки MM' и MAl1 обозначим через dn и dl. Напомним, что
„ dtp ., Рис. 1.
производной -JJ- от скалярной
функции -f по какому-нибудь направлению I называют предел отношения
Iim -M1-* ш
¦ (Afj) — <f (M) __ d<f
MM1
dl
Замечая что, по определению поверхносш уровня, ср (Af1) и что, кроме того,
dn = dl • cos (1, п),
будем иметь
d'f _ d^ dn _ ds
dl
dn dl
dn
cos(I, n).
(4)
= <э(M')
(5) (всном-
Оісюда сразу следует, что, в силу положительности пить определение внешней нормали):
df do
~Ш> ~df' »
е. направление внешней нормали к поверхности уровня представляет направление наибольшего изменения скалярной функции но сравнению с любым другим направлением.
Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровня: = С, ® =C', W = С" и т. д. Проведем через точку M внешнюю 42
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
нормаль п, через точку M' пересечения ее со смежной поверхностью уровня — нормаль п', через точку M' пересечения этой нормали со следующей поверхностью уровня — нормаль п" и т. д. В пределе получим кривую LL, нормальную ко всем поверхностям уровня в і очках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной величины вдоль такого рода линии, тем самым по формуле (5) определим и общую картину изменения рассматриваемой величины в нро-странсіве. В существовании этих линий максимального изменения заданной скалярной величины наряду с нормальными к ним поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее упоминалось.1
Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения вис-торного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости векторов поля как по величине, так и по направлению.
Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку M (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а, отложим вдоль положительного направления этого вектора малый отрезок MM', затем в тот же момент времени, если поле не стацио-
