Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
в пространстве линию, обладающую тем свойством, что в каждой ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая линия называется векторной линией поля (вспомнить например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля).
Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь одну векторную линию; исключением являются так называемые особые
1 Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к данному семейству линий, верна лншь при выполнении некоторых условий. По этому поводу см., например, Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Л у р ь е, Курс теоретической механики, ч. II, 1940, изд. 3, стр. 164.
нарно, проведем через точку M' соответствующий ей вектор а', точно так же отметим вектор а"
п
/И
Рис. 2.
а« в точке М", расположен-ной на направлении вектора а', и т. д. Если взять точки М, M', M"... достаточно близкими друг к другу, то указанным путем можно прочертить МГРЛ 0ДН0Р0ЦН001И ПОЛЯ
43
точки ноля, через которые могут проходиіь несколько и даже бесчисленное множество векторных линий. Так, например, из „точечного заряда", образующего электростатическое поле, выходит бесчисленное множество силовых линий поля.
Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий поля вектора а (х, у, г; і). Обозначим через Sr направленный по касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме только что указанное свойство совпадения по направлению век гора поля с касательной к векторной линии в данной точке:
aXSr=0. (6)
Здесь и далее символ „X" обозначает векторное умножение, точка обозначает скалярное умножение.
В декартовой системе координат векторное равенство (6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений, определяющих семейство векторных линий:
Ьх__Ьу__ф Ъг_.
Ox (-*> У, z> 0 ау(х,у, г, t) аг (х, у, z, t) '
при решении этой системы двух уравнений первого порядка время t следует рассматривать как заданный фиксированный параметр. Проинтегрировав систему (7), получим конечное уравнение семейства векторных линий с двумя произвольными постоянными, которые можно найти из условия прохождения векторной линии через заданную точку пространства.
Проведем в данный момент в части пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- Рис. 3. мкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная поверхностью о, образованной векторными линиями, называется векторной трубкой.
Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее увидим, представления о характере изменчивости векторов, образующих данное поле.
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной точке. [Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор векторного поля как меры неоднородности поля
Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты изменеьия) функции одной переменной при данном значении ее аргумента является производная этой функции по аргументу, точно так же и в случае скалярного или векторного поля за меру неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении 44
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
п пространстве можно принять производные этих величин но выбранному направлению, причем в общем случае пространственного распределения производные эти зависят от направления дифференцирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по направлению I можно принять величины:
d(f da
ЧГ И Ж'
где первая представляет ранее определенную формулой (4) производную от скалярной функции ©(Ж) по направлению 1, вторая определяется аналогичным образом как предел
Iim (8)
JK1-* ж MMi
подчеркнем, что в обеих частях равенства (8) в числителе стоит векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); при этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос,
^ d'9 da
образуют ли величины и , соответственно, скалярные и векторные поля.
Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства будет соответствовать бесчисленное множество значений производных скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда заключаем,
что скаляр -^j- и вектор не образуют полей, так как между их
значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное соответствие; можно сказать, что эти производные являются функциями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и направления (вектора 1). Поставим вопрос о разыскании такой образующей поле однозначной функции точек пространства, чтобы рассматриваемые производные выражались через нее и орт 1, определяющий направление дифференцирования. С физической стороны разыскивается мера неоднородности поля в данной точке, не зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через нее и орт выбранного направления.
