Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^еф = (Г— r0) S,
где S — тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль):
(53)
/
ди дх
-1 (^v t ди 4I
2 \дх і"ду)'
К
(ди і dw \ дг ~т~дх)'
2 Ux ' ду dv Ту'
2 Vdy^ дг)'
1 /ди , dw\\ ~2 ITte T дх)
J. (^w і
2 Kdy ~7~~дг)
dw
дТ
/
(54)
называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" S, если под и, V, w понимать не проекции скорости, а малые перемещения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует очевидное соотношение:
¦ Sdt,
(55)
где dt — элемент времени, в течение которого произошли малые перемещения тела.
Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций, симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в таблице симметричны относительно главной диагонали, т. е. Say-Syx,
jVz-
: S С
гу> zx -
Различны только шесть.
из девяти компонент симметричного тензора 62 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ fl JI- 1
а) для направления Al0Mi:
X1 Vi 1 /dv ди\ Z1 _ 1 /ди dw\
— = 1, -з^Г == "2 Ж"f""QyJodt' TT = "2 IaF+та
б) для направления M0Mr2:
__1 м у'я A.— Ll—JL—} nt
\дх~т дук ' 17""" 2\ду^"дг)ь '
получим
х- ¦- ¦14 (? ¦+а«+ш+а** ¦¦1 ¦+2-г°
Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости ^giy ско-иіения угла хОу:
• =Jbl--X.--^ • < — ±"
dt дх ду ®г/> 2 "W'
и аналогичные формулы для других направлений.
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные представления дифференциальных операторов поля. Основные интегральные формулы
Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной важной величиной — скоростью относительного объемного расширения в данной точке, которую можно определить как предел
Iim (Д.),
A-Z 0 аг al
где Дт—малый объем, в котором взята точка. Эта физическая скалярная величина носит наименование дивергенции (расходимости) скоростного поля и обозначается символом divV, так что можно написать
d,vV==4?™0^(AT)- (58)
Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может повести к недоразумениям, . обозначать пространственные дифференциалы символом 8, временные—d. Тогда (58) дает
divV-тЛ (59)
*
В дальнейшем часто придется находить производную по времени от элементарного объема жидкости. По (59) имеем:
|L(8t) = div V-St. (59') § 11]
СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ
63
Для определения величины divV воспользуемся приемом, идея которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент времени t элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными сечениями (рис. 9) do, и do2 выделим некоторый объем ABCD = Ix. За время dt объем сместится в положение А'В'С'D' и, вообще говоря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение объема ABCD в этом случае будет равно:
J(St) = объем А'В'CD'- объем ABCD = = объем DD'С'С —объем AA'В'В,
так как объем А'В'СП является общей частью объема трубки в начальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению К объему ABCD нормали п, и щ и внутреннюю нормаль nj, а также отметим векторы скоростей V1 и V2 в сечениях Oal и da,,. Тогда будем иметь:
объем AA'В'В = do, - H1 = = Jo1 • V1 dt - cos (V„ пі): v
= —V1 cos (V1, Ii1) dt • do,,
объем DD'С С = do9
Zi2 =
= V2 cos (V2, n2) dt • da2
следовательно, d (St)
dt
= vm da\ + Kn daZ
(60)
Возьмем теперь в поле скоростей любой конечный объем т, разобьем его поверхностями трубок тока на бесчисленное множество элементарных объемов 8т; при этом входные и выходные сечения do заполнят всю поверхность а, ограничивающую объем т. Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда, очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема:
^7= J Vndcs= I Vcos(VTn) do= J n-Vdo.
(61)
Согласно (58), получим теперь следующее интегральное представление дивергенца скорости:
1
div V = Iim
Дт
in. 1 Г J
До
Vn ЙО:
= 1ІШ Дт -э- О
Дт
J-
Vdo,
(62) 64
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА CPl-ДЫ
fl JI- 1
где До — поверхность, ограничивающая малый объем Дт, заключающий в себе точку, в которой определяется divV; при стремлении Дт к нулю поверхность До стягивается в эту точку. Замечая, что выражение
J
Ae
Vn da
представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность До, ограничивающую объем Дт, содержащий внутри себя
точку, в которой опре-
z
w Вш, Vn = WfJfz-Л Z
v0 = -q
делится дивергенция, можем еще определить величину div V как предел отношения секундного объемного расхода жидкости сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция. Как видно из хода доказательства, объем Az совершенно произволен по форме. Выберем за Az элементарный декартов координатный параллелепипед (рис. 10); тогда, составляя непосредственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения Vn по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим:
