Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
с прямой = 1 при у == 8 было второго порядка. Рассматривая параметр X, или, тем самым, по (92') 8, как неизвестную функцию х, можем эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91). Для этого достаточно подставить многочленное представление скорости (92) в выражения 8* и 8** и вычислить эти „толщины"; простое интегрирование многочленов дает:
8* 0,3000—0,008333Х,
= 0,1175 — 0,001058Х — 0,0001102Х2,
8
8
кроме того,
.SiL-JLfiii) —J1JL-JL] у 12 + х
pt/2-p и*\ду)у ~ —1 ~"
Подставляя полученные значения 8*, 8** и tZwIpU2 в уравнение (91), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения X:
dl Ur ... , U" .
Zt = -JF g^ + W h I93)
где функции g (X) и h (X) определяются равенствами:
A(X):
7257,6 — 1336,32?, + 37,92X8 + QiSis
213,12—5,76*.— X2
213Д2Х — 1,92Ха — 0,2Х3 j
213,12 — 5,76Х — Xs • J
\ (93')
Определив по (93) Х(х), тем самым найдем и 8 (х), после чего сганут известными профили скоростей (92) во всех сечениях пограничного слоя, трение на стенке Zw и „толщины" 8*, 8**. К сожалению, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с вычислительной стороны, так как требует приближенного интегрирования нелинейного уравнения (93) с особыми точками при U = 0 и W = O. Кроме того, и это наиболее существенно, метод оказывается неприменимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движении § 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
553
во внешнем потоке, например, в кормовой части крылового профиля, если слой близок к предотрывному своему состоянию или отрывается. 1 О точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим к использованию, можно судить на основании следующего простейшего примера его применения к продольному обтеканию пластинки. В этом случае X = O, так как U= V00, Ur = O; подставляя значения:
8** = 0,11758, J^=
PV200 Vco.
непосредственно в уравнение (91), в котором второй член в левой части пропадет, будем иметь:
0,1175-?- = -=?-.
dx КЗ
Уравнение легко интегрируется и дает:
8 = 5,83 , 8* = 0,38 = 1,75 j/"
VJC
V~
0,11758 = 0,685
УХ
VZ
0,343
Что касается формулы для толщины слоя 8, то она имеет чисто вспомогательный и условный характер; остальные результаты допускают сравнение с точными формулами § 85. Приведем сравнение числовых коэффициентов Таблица 18 в этих формулах (табл. 18).
В настоящее время разработаны значительно более простые и вместе с тем вполне приемлемые для практики методы расчета пограничного слоя, основанные на применении преобразованного уравнения импульсов и более близкого к действительности, ского семейства профилей скорости. 2
Коэффициенты Точный Приближенный
Ъ* 1,72 0,664 0,332 1,75 0,685 0,343
но также однопараметриче-
1 Подробное изложение метода Польгаузена с критикой недостатков и иллюстрацией примеров неприменимости метода можно найти в ранее цитированной нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя*, стр. 170—189.
2 JL Г. Jl о йця н с к и й, Приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя на крыле. Доклады АН СССР, т. XXXV, № 8, 1942; Н. Е. Кочин и Л. Г. Лойцянский, Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограннчнго слоя. Доклады АН СССР, т. XXXVI, № 9,1942. 554 ДИНАМИКА вязкой жидкости и ГАЗА [ГЛ. VIII
Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях пограничного слоя задано функцией
удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей в качестве параметра величину К, определенную равенством (92'). Используя эту функцию, убедимся, что вообще:
Л 11
JL
д^г
vfe(X)
; т !
«,= о
где H*, H** и b— некоторые функции I, зависящие от вида функ-
ции
»(*і О-
Подставляя эти значения 8*, 8** и в уравнение импульсов (91), получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие в него функции ?г(Х) и h (К) будут представлять следующую явную зависимость от H*, H** и Ь\
JL їй**
H**+ H*) к 2
~dH**—!-' nW--Ш**—г
X ___І-і- Я** X —-__Ц- —
dk 2 Л + 2
Введем теперь в рассмотрение две новые функции Л:
/ = ХЯ**2 и F = 2H**[b— Ц2Н** + Н*)), (94)
связанные с §•(/.) и h (л) простыми соотношениями:
dX rfX
тогда уравнение (93) может быть переписано так:
^L-HLJL \ и"_ f
dx~~ U df_ ' U' df' dk dK
Умножая обе части этого уравнения на получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
g-5'+ "wf да
относительно неизвестной функции:
/=Ш**2= —.^ = -^^2. (96)
' V 52 V 4 § 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 555
Таким образом, параметр X, заключающий в себе условную вспомогательную величину 8, исключается и заменяется новым параметром /, образованным по тому же закону, что и X, но имеющим в качестве характерной длины „толщину потери импульса" о**.
Замечая, что равенства (94) можно рассматривать как параметрическую связь между Fh/ через параметр X, а параметр X выражается через / при помощи первого из уравнений (94), будем предполагать, что X исключено и повсюду заменено своим выражением через /. Переписывая F в ввде:
