Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 15
O /00 0,664 f с a /00 0,664 V о a /00 0,664 f с
0,6 0,552 0,560 0,9 0,640 0,641 7,0 1,29 1,26
0,7 0,585 0,589 1,0 0,664 0,664 10,0 1,46 1,43
0,8 0,614 0,616 1,1 0,687 0,685 15,0 1,67 1.64
Таким образом, вместо (75) можно пользоваться простой приближенной формулой:
N = 0,664 /Rj= 0,664 у ^JL і/ Y^L. (76)
' А * V
Зная число N, коэффициент теплопроводности л и температурный напор Tw — Tca, легко определим и отнесенное к единице ширины пластинки поперек потока количество теплоты Q, отдаваемое в единицу времени потоку одной стороной пластинки:
Q = ^iTw-TJK
Исследование ламинарного аэродинамического и теплового следа непосредственно за пластинкой представляет большие математические трудности. Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости вдалеке вниз по потоку от задней кромки пластинки, і
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании скорости внешнего потока U=cxm
Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных производных (65) к обыкновенному уравнению является такое движение жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость внешнего потока на границе пограничного слоя определяется степенным равенством2
U = CX* (77)
Этот случай интересен, как пример ускоренного (т. > 0) или замедленного (т < 0) движения во внешнем потоке; анализ решения этой задачи позволяет сделать выводы об особенностях поведения пограничного слоя в такого рода потоках.
Обозначая, как и раньше, через I и V масштабы длин и скоростей, будем иметь:
V=Clm (770
1 См. Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 118—124.
2 V. М. Falkner and S. W. Skan, ARC R&M № 1314 (1930), а такжг P. R. Hartree, Proceed, of the Cambridge Phil. Soc. 33 (1937), § 8б] СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРбСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА 541
и, взяв отношение левых и правых частей,
U /
т
или, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и для размерных:
U=Xtn.
Уравнения ламинарного пограничного слоя (65) в силу равенства (66) при безразмерном р=1 буду г иметь вид:
e -L^ifi== лив )
да _q
дх ' ду ' j
В данном случае имеем масштабы
X. = I, Y = —г= ,
Vr
причем в силу (77')
R—у~У ^=1 ¦
j (78)
Из условия независимости решений уравнений (78) от масштаба I, который отсутствует в условиях задачи, следует, что искомые функции должны зависеть не от безразмерных хну отдельно, а от такой их комбинации, чтобы при переходе к размерным величинам масштаб I выпал.
" Сравнивая выражение Xv Y, видим, что искомой комбинацией безразмерных Xw у является
т—1
ух 2 . (79)
Полагая в безразмерных величинах
т—і
U = Uf (т)) = *»/ (ух~), (790
введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78), безразмерную функцию тока ф; тогда будем иметь:
V V W-I т+1 Ч т+1
y = f udy = x»>Jf (ух 2 )dy = x л Jf(ri)dn = x ' <?(*!)• (80)
OO О 542 ІгіНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. Vtlt
Составляя выражения (штрих — производная по Y1):
Я! д m+l W—1
U=^-=X ' JwQ=X « + ' ^fo) = *"?'.
ду — - Y W ду
ди т і / і яг — Im ,// „, і/ г , tn—1 а*
, Srn-I
тх»>-у X^rlX-Y = + Z^pL ri?"},
® — л
дх
дФ — I ,. т +1 \ -1 = -* ' (-J-TfH--2
и подставляя их в первое уравнение системы (78), получим после простых сокращений:
¦ <р<э" = /я — 1).
Уравнение это можно еще дополнительно упростить, если сделать замену: ___
^ = Zdr*' ^/Sr1ь <81)
Простые вычисления приведут после этого к такой окончательной форме основного дифференциального уравнения задачи:
азф
-P [(f)"-']. <»
(82')
где положено для краткости
R — 2т р от+Г
Заметим, что из соотношений (79'), (80) и (81) следует: —_— «.+і ^V d-Iх *
и = Xwi Ф' (?),
— -/S ^ К"* * <9 + =?1 * ©] •
где $ связано с размерными координатами х, у соотношением:
--- ---- «
(83)
т—1
і
§ 86] СТЕПЕННОЙ 3AtfOH CKOPOCtH ВНЕПІНОГО ПОТОКА
543
Пользуясь этими равенствами, легко установим граничные условия задачи:
Ф(0) = Ф'(0) = 0, Ф'(оо) = 1. (84)
Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка, решение которого при граничных условиях (84) может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на специальной интегрирующей машине, как это сделал Хартри в цитированной на стр. 540 работе.
Результаты численного интегрирования сведены в табл. 16 значений отношения скоростей ujU или функции Ф'(?) при различных величинах параметра р.
Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать из рассмотрения табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным т. соответствуют ускоренные внешние потоки (U' > 0), имеющие место в конфузорных (сходящихся) каналах, а отрицательным т — замедленные потоки (U' < 0), наблюдаемые в диффузорах (расширяющихся каналах). Соответственно знаку т будет положительным или отрицательным параметр р. Случаю т. = 0 отвечает известное уже нам продольное обтекание пластинки с равномерным внешним потоком (U= 1, {/' = 0).
Первое, что сразу следует из табл. 16, это убывание с увеличением параметра р безразмерной „толщины" пограничного слоя E6, определенной значением S, при котором и/U отличается от единицы на данную малую величину, например, на 0,1%. Так, при р = — 0,1988 S8 = 6,0, при P = O $8 = 4,8, при р = 0,2 S8 = 4,4, а при р = 2,4 Ss = 3,0. К аналогичному результату придем, вычисляя размерные условные толщины слоя: толщину вытеснения 8* и толщину потери импульса 8**, определенные интегралами:
