Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка
tp"' 4" = 0, (71)
которое надо решить при очевидных граничных условиях: при Kj = 0, tp = 0, ©' = О При IQ = оо о' = 2.
(71')
Уравнение (71) и граничные условия (71'), благодаря использованию безразмерных величин, приведены к чисто численному виду, не 534
динамика вязкой жидкости и газа
[гл. vjil
содержащему никаких параметров (плотность, вязкость, скорость, размер). Решение задачи может быть закончено численным интегрированием уравнения с той или другой точностью. Приводим табл. 14
значений безразмерной скорости и = o'(tj) в функции от tj с точ-
ностью до четырех знаков.
Таблица 14
« = Tj f'(Ti) rI a =^Ybl) ri H = -I^(Y1) ¦»1 и =T^Oq)
0 0 0,8 0,5168 1,6 0,8761 2,3 0,9827
0,1 0(664 0,9 0,5748 1,7 0,9018 24 0,9878
0,2 0.1328 1,0 0,6298 1,8 0,9233 2,5 0,9315
0,3 0 1989 1,1 0,6813 1,9 0,9411 2,6 0,9942
0,4 0,2647 1,2 0,7290 2.0 0,9555 2,7 0,9962
0,5 0 3248 1,3 0,7725 2,1 0,9670 2,8 0,9975
0,6 0,3°38 1,4 0,8115 2,2 0,9759 2,9 0,9984
0,7 0,4563 1,5 0,8460
Пользуясь этим табличным решением задачи, найдем прежде всего напряжение трения на поверхности пластинки, равное в размерных величинах:
Определял іриближенно по таблице
будем иметь распределение трения по поверхности пластинки
Tw= 0,332 "j/"^. (72)
Эта формула (ход изменения zw показан на рис. 166) дает очень хорошее совпадение с опытными данными, исключая области, непосредственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72) имеем:
(-Oe-O = 00' (V)e.,= 0,332 j/il
на самом же деле tw и при х = 0 и при X = I из соображений непрерывности и симметрии потока должно быть равно нулю, §
ламинарный слой на пластинке
535
Суммируя напряжение трения по обеим сторонам пластинки вдоль всей ее длины, получим полную силу сопротивления трения (SyH• 1 — смоченная поверхность, Cf—коэффициент сопротивления грения):
Wf=CfS
VVl 2
Г
2 j Vy^ivl (72')
и выражение коэффициента сопротивления грения:
Cf
1.328
I
/25
1,328
VX
(72")
Экспериментальное определение сопротивления пластинки, пограничный слой которой полностью ламинарен, представляет большие трудности, связанные с невозможностью создания достаточно тонкой пластинки с острыми носиком и хвостиком, необходимостью измерения малой силы, малых скоростей и др. Наиболее точные экспериментальные значения коэффициента сопротивления пластинки оказываются близкими к теоретическому (72").
Рассмотрим еще безразмерное распределение скоростей по сечениям пограничного слоя. Согласно формуле,
" = Y?' (7J)
,или в размерных координатах и скоростях
и 1
1
///?-ШУ/ •У/,V/, у////, ш ш
WA ш щ
W//. + X=Зсм о х=!0см • х = 15 см
Ж N
УШ
ш. У/
уш
Ш
У//
у
Vn
Г VX
Рис. 167.
можно дать одну кривую распределения скорости во всех сечениях слоя. Такая теоретическая кривая проведена на рис.-167 сплошной линией. На том же рисунке приводятся экспериментальные точки,1 которые хорошо совпадают с теоретической кривой в различных сечениях пограничного слоя (х = 3 см, 10 см и 15 см). Некоторое заметное отклонение при х = 3 см объясняется близостью этого сечения к носику, который представлял
1 По опытам Ханзена. См. М. Hansen, Die Geschwindigkeits verteilung in der Grenzschicht an einer eingetauchten Platte. Zeitschr. fur Angew. Mathew. und Mechanik, Bd- 8, H. 3,1928. 536
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные сгенки. Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке.
Уже ранее упоминалось, что понятие „толщины" пограничного слоя весьма условно.
Если под толщиной пограничного слоя понимаїь такое размерное расстояние _у == 8 от стенки, где продольная размерная скорость и лишь, например, на один процент отличается от скорости внешнего потока V00, то по табл. 14 найдем приблизительно
8 = 5,0]/"
г * со
а если повышать точность совпадения и и V00, то толщина будет соответственно увеличиваться. Так, если потребовать, чтобы отклонение не превышало 0,2%, то коэффициент 5,0 в предыдущей формуле заменится на 5,8 и т. д. В настоящее время избегают пользоваться этим приближенным понятием (ход возрастания 8 вдоль пластинки показан на рис. 166), вводя для характеристики „толщины" слоя некоторые интегральные определения.
Так, общеприняты: „толщина вытеснения" 8*, равная
OO _
b'-ji1-^)**=1-721^-и „толщина потери импульса"
OO
8"=J' T^ (1 — тУdy=0,664 YHt-
Формулы этих величин для общего случая обтекания любого цилиндрического тела и физический их смысл, объясняющий происхождение наименований, дадим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности, как представление о толщине слоя (8 =^ 38* = 7,5 8**), но зато слабо зависит от неточности учета совпадения и к Voa при больших у. Так, из формулы
