Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
CJU /
-о J Ф <Ц 0
зависящей как от аргумента с, так н от параметров аир. Таблицу значений функции Ф (?) можно составить численным интегрированием функции Ф'(?) или пользоваться приближенной формулой
Ф (S)=I ?"(0)?
со значениями Ф"(0), взятыми по ранее приведенной табл. 17. § 87]
ламинарный пограничный слой в общем случае
549
К численному интегрированию сводится и несколько более общая не-нзотермнческая задача; отличающаяся от предыдущей тем, что температура стенки не постоянна, а является также степенной функцией абсциссы х:1
Tw= Tm +Ах".
Следует отметить, что опыты хорошо подтверждают результаты теоретического расчета теплоотдачи.
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания скорости внешнего потока. Применение уравнения импульсов для приближенного расчета ламинарного пограничного слоя
Согласно (66), уравнения (65) изотермического ламинарного пограничного слоя можно переписать в размерной форме так:
(89)
В общем случае задания U (х), как некоторой произвольной функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении U(x) в степенной ряд и разыскании неизвестных функций и HV также в виде степенных рядов, 8 сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф.
Начнем с вывода основного уравнения количеств движения или „уравнения импульсов", как принято его называть.
Пользуясь вторым уравнением системы (89), преобразуем систему к виду:
после чего вычтем почленно обе части первого уравнения преобразованной системы из второго; тогда будем иметь:
д т ,„г а, , А г „ , ,„ A dU .SPu
' ду*-'
? [и (U - и)] + [v(U-u)] + (U - и) ^=-V-
1 A. Fage and V. Falkner, ARC R&M № 1408 (1931).
См. также „Современное состоянне гидроаэродинамики вязкой жидкости", т. И, ИЛ, Москва, 1948, стр. 313.
2 Обзор методов этого рода см. Л. Г. Л о й ц я и с к и й. Аэродинамика
пограничного слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 151, а также „Современное состоя-
ние гидроаэродинамикн вязкой жидкостн", т. 1, ИЛ, 1948. 550 ДИНАМИКА вязкой жидкости И ГАЗА [гл. VlH
Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах от нуля до со или до некоторой конечной величины, принимаемой с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих параграфах, за меру „толщины" пограничного слоя. В последнем случае точные условия асимптотического стремления и (дс, у) к U (х):
при у —*¦ оо и —> IJ (ж), —> О, заменяются приближенными:
при у = Цх) U^U(X), Jj=O.
Производя в том или другом предположении указанное интегрирование, будем иметь:
со, 5
/ dy+ [V(U-U)TyZT1 jT
О
оо, Ь
. dU Г ч . fdu f=00'8
о 3
Используем граничные условия и заметим, что при существовании интеграла с бесконечным верхним пределом будет:
СЮ OO
Ml
о о
точно так же в случае переменного конечного верхнего предела 8(х):
В (X) i(ss)
db dx
J ^ [« V- «)] cly J и (U- и) dy [и (U и)І
ъ
:ju(U—u)dy,
ь
_d_ dx,
Таким образом, будем иметь:
со. 5 »,8
JL
dx
J u(U-u)dy + §.j (U-u)dy = .(%)^o. (90)
Введем условные „толщины" пограничного слоя: „толщину вытеснения"
со» Г
6*=J § 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
551
и „толщину потери импульса"
со, О
и вспомним, что ио определению напряжения трения на стенке Tw:
'ди \ __ Jt2O
¦ду/у=о P " Уравнение (90) преобразовывается к виду
<i
= (90')
или, после раскрытия производной,
^ + = (91)
Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение теории пограничного слоя и называется „уравнением импульсов". Уравнению импульсов придают еще форму
Р.')
где под H понимают отношение:
Я ——
*
Уравнения (91) или (91') могли бы быть получены непосредственно из теоремы количеств движения (георемы импульсов), примененной к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими смежными сечениями пограничного слоя, чем и объясняется наименование этих уравнений.
^ В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, основанный на использовании уравнения импульсов. Идея метода заключается в следующем. Заменим неизвестные действительные профили скоростей и(х, у) в сечениях пограничного слоя семейством парабол четвертой степени
с параметром I, равным
и
Tf
U'o3
(9 2')
Легко проверить, чю это семейство профилей скорости удовлетворяет ранее указанным граничным условиям
ди
при у = 0 и = 0, при у = 8 u = U, -grp- === О, 552
ІгіНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. Vtlt
и, кроме того, еще двум дополнительным условиям:
„ д'и UU'
"Р" -у = 0 ^ = —-<
SS 5?
при у = 8 SJ^b=0'
из которых первое непосредственно вытекает из первого уравнения системы (89), а второе требует, чтобы соприкасание кривых семейства
