Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
di dV i"=l.
при C = O при C = CO
. = f = О,
(116)
Интегрирование уравнений (113) в общем случае представляет большие затруднения, так как приходится производить численное интегрирование уравнений с несколькими характерными параметрами: п, a, k, M00.
Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом вязкости и температурой линейна (и = 1). В этом случае вместо (113) получим систему уравнений:
f 4- vsi+? (k—і) ML®"2 = 0.
(117)
Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных условиях (114), ничем формально не отличается от соответствующего уравнения (71) и граничных условий (71') задачи о пограничном сдое на пластинке в несжимаемой жидкости, так что для определения функции <? (С) можно пользоваться приведенной ранее табл. 14. Но тогда, интегрируя второе уравнение системы (117), подобно тому как это было сделано в конце § 85, найдем значение і (С) в форме:
1
8
где введено обозначение
(k— 1)М^)(С) + -§ J' [»''(C)J0tfC + Q, (118)
t.
О (С) = — 2о J W (Z)] °? J W (r*)f- - di*, (Н9)
а произвольные постоянные интегрирования С и C1 должны быть определены из начальных условий (115) или (116). Полагая С = °°» § 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (« = 1) 569
найдем значение постоянной C1 = 1; полагая C = O, получим
С~-=--(120)
IJVtcr
8
о
dC
Обозначим теперь через it и Tt значения теплосодержания и температуры пластинки в условиях (116) отсутствия теплоотдачи, т. е, тогда, когда пластинка играет роль измерителя температуры потока — пластинчатого термометра. Условие отсутствия теплоотдачи будет:
при C = O i' = 0.
Дифференцируя (118) и замечая, что по (119) будет (0) = 0, найдем в этом частном случае С=0, т. е. по (120) при Iw = ц получим
1,= 14- I(A-I) IO(O) (121)
или, переходя к размерным температурам:
+ 1)А&], (122)
где
со С
& (0) = 2а J [<?" (C)J8 dCj W (Cif)]2"' dC\ (123)
о о
Тогда постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи с поверхности пластинки можно представить, согласно (120) и (121), в следующем виде:
с _ lt' 1W
j J te" (C)Io л
(124)
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего легко убедиться, что при M00 -> 0 соотношение (118) в переменной С совпадет с ранее выведенной формулой (74) для несжимаемой жидкости в переменной г(, принятой в § 85; полученное таким путем равенство
с
f W (C)I0 dl Tw-T __ о__(125)
•/ ТИ - со
І w— ^co с ~ — J [*» (C)FdC 570
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и ГАЗА
[ГЛ. VIIl
даег распределение температур в пограничном слое на пластинке, обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи между коэффициентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда влиянием сжимаемости (числа Mo0) пренебрегать нельзя, будем предполагать, что функция &(?) затабулирована для различных о. Для дальнейшего особенно важно знать величины 8(0); приводим их значения при нескольких а:
о = 0,6 0,8 1,0 10 15 ; $ (0)=3,08 3,58 4,00 11,86 14,14
Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет для случая п — 1 решение задачи об измерении температуры газового потока T=T00 при помощи непосредственного замера температуры T=Tw-Tt поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки, при условии, что тепло от пластинки не отводится,(нет теплоотвода через державку н проволочки измерительной термопары). Как наглядно показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры потока Tco показывать тем большую температуру Tt, чем больше число Mcn. Это и естественно, так как пластинка тормозит поток и, вследствие перехода энергии потока в тепло, должна дополнительно нагреваться. Конечно, это торможение будет не изэн-тропическим, так как связано с переходом .механической энергии в тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (122), при о=1 и 0(0) = 4 термометр будет показывать температуру адиабатического и изэнтропического торможения
(Tf)a=i = ^fl+ -MLJ = T0;
при других значениях о это уже не так:
при а < 1 Tt < Ta, при о > 1 Tt > T0.
Формула (122) может служить для вычисления поправок на указания пластинчатого термометра в газе с заданным числом а, отличным от единицы.
Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении. При больших значениях Mco эти температуры достигали бы катастрофических для металла и материалов значений; для борьбы с этим необходимо применять охлаждение поверхностей изнутри. Имеющее место при высоких температурах влияние лучеиспускания также способствует понижению поверхностной температуры. 1
1 И. А. Кибель, Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом Излучения. Докл. АН СССР, т. XXV, № 4, 1939. § 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (« = 1) 571
Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки, имеющей температуру T= Tw, вычислим размерную производную от
' дТ
температуры по нормали к пластинке на поверхности пластинки. Имеем, переходя к размерным величинам:
