Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
In (j^j = In (-^j + і (е — 6) = 2 Спа-пе-пЩГп. (112')
или, полагая
Спа-п = ап-\- 1Ъп, С0 = а0. (112")
и сравнивая в (112') действительные н мнимые части, будем иметь:
/ \ 00 In (^-J = «0 + 2 cos + ^n sin я0) X-.
OO
0 — є X= 2 (я» Sjn — К сое я В) X-"-
K=I
Как уже раиее указывалось, при достаточно тщательном расположении преобразуемого крылового контура К относительно точек F и Fr и удачном § 48] обтекание произвольного крылового профиля 313
подборе угла -с, а следовательно, и о, контур „почти-круга" К* будет мало отличаться от контура круга L, соответствующие точки будут близки друг к ДРУГУ Иі как показал Я М. Серебрийский, можно с достаточной для практики точностью пренебречь в первом приближении разницей между полярными углами е и 6 соответствующих точек в плоскостях С и <0. При желании метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разницу между углами е и 8.
Замечая, что для точек, лежащих на контурах А и L, будет: X = 1, р =ро (є), перепишем в принятом приближении (0 = е) первое равенство предыдущей системы в виде
, , со
IniaJH =^+2(? COsn4- bn sin т).
Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложением (110). Таким образом, искомые коэффициенты ап и Ьп, входящие в преобразование (112) через комплексные коэффициенты Cm оказываются уже известными. После этого не трудно по (112") вычислить комплексные коэффициенты Cm тем самым полностью определить основное преобразование (112) и решить поставленную задачу. Опыт многочисленных расчетов показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным.
Совокупность равенств (100) и (112) дает преобразование части плоскости z вне крылового контура А на внешнюю по отношению к окружности круга L часть плоскости <о, т. е. как раз то основное конформное преобразование (74), о котором говорилось в § 42 (вспомнить рис. 85).
Желая найти распределение скоростей по поверхности крылового профиля К нли вне его, используем комплексный потенциал у(ш) обтекания кругового контура L с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь
V4z) === ^ • — • — ' dz dv> ' dt, dz "
Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чаплыгина о плавном обтекании задней кромкн крыла, представленным формулой (80). Заметим, что последние два сомножителя в только что составленном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер и не зависят от кинематических условий обтекания — скорости и угла атаки. Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки
на другой, если комплексные величины ^ и ~ для заданной формы кры-
Miw CtZ
лового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я. М. Ce-ребрийским путем применения специальных приемов.
В методе С. Г. Нужина промежуточное отображение иа „почти-круг" отсутствует н решение задачи сводится к непосредственному отображению области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне «Руга L (см. рис. 97).
Для этого между физической плоскостью течения z и вспомогательной плоскостью ш устанавливается соответствие в форме ряда Лорана
со
г = ("З)
Я=1
с неизвестными комплексными коэффициентами сп — f г%. 314
плоское безвихревое движение жидкосш
[гл.
Полаїая в (ИЗ) и» = ае^ и выделяя в нем действительную и мнимую части, получим систему двух действительных равенств:
со
х (0) s= jjl0 -(- a cos Є -J- 2 (Pm cos /10 -J- v„ sin л0),
я=1
у (0) = V0 -, a sin 6 -J- 2 (v№ c»s »0 — !aM Sin лб),
(ПЗ')
представляющих параметрическое уравнение крылового контура, выраженное через параметр 6 — угол в плоскости а> между радиусами-векторами точек на круге L, соответствующих точкам на контуре К, н действительной осью.
Разобьем координаты х (0) н у (0) на полусуммы и полуразности их значений иа круїе L в точках с угловыми координатами 8 н 2л —0, положив
*(0) = X1 (0) + (0) J (0) =Ji (6) +J2 (0), ач (Є) = І- |* (6) + х (2к - 0)j = н<от 2« cos 0 - fx cos nf),
х2 (0) = 1 [х (0) -ж (2it - fl)J = ? /IllSin п),
J1 (8)- j [j(0)+j(2*-fi)] = A> І ^Лчсс8нВ, J2 (Є) =-J [j (O)-J (2я - 8)] - 2 fn sm /20.
(114)
Входящие сюда иовые коэффициенты Фурье:
An = Bn = — |»,„ B1=U- Jj1 могуг быть определены по обычным формулам:
(114')
<l> Vj
A=-^jyi (в)М, An = I J J1 (0) cos пв db, О о
к
Bn = -^j J2(B)Sinne db.
(115)
Неизвестные коэффициенты An, Bn определяются следующим процессом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается.
x<V = Lcos 0, j<°> = 0, Af= Bp = ^) = 0, «=±,
что соответствует отображению на круг пластинки. Затем, задаваясь последовательными значениями 0 и соответствующими Значениями X^, определяют по чертежу крылового профиля величины ординат (6|, а также у'^ (В) и Jg1* (е)> проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выражениями коэффициентов Фурье (115), по найденным значениям J^ (0) и J^ (rO 48]
