Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):


Sin 8 = tg б = ^'(лг), cos 0 = 1;
кроме того, в силу малости ординат дужки, будем считать граничное условие Vn = O выполненным не на дужке, а на хорде AB. Тогда предыдущее выражение нормальной к дужке компоненты скорости приведется к следующему граничному условию:
при -С^х^ + С, у-0, j
V* = Uj" (X)-Vсо. J 1^ 47] ЗАДАЧА OB ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЮГНУТОЙ ДУЖКИ
303
Таким образом, задача об обтекании слабо изогнутой дужки приводится к задаче разыскания возмущенной скорости Vv по граничному условию (102) для проекции ее на ось Oy и к очевидному условию у* 0 при х -> оо и у -> со или, в комплексном виде, к разысканию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции У*(г), мнимая часть которой на отрезке действительной оси (—с^х^с) удовлетворяет заданному условию
м. ч. VV = V00-UcoFf(X), (103)
или, что все равно, условию (102).
Условия (101) на пластинке соответствуют наличию на отрезке AB вихревого слоя с интенсивностью (§ 40)
О ,г, і / _
с + дг
причем по основному свойству вихревого слоя:
И* (х) = — и_ (х), v*+ (х) = (х) = V (х) = — V00.
Задача об обтекании дужки К является обобщением задачи об обтекании пластинки AB. В случае обтекания дужки можно представить себе на отрезке AB вновь некоторый вихревой слой, но уже с неизвестной интенсивностью ^ (х) и нормальной составляющей скорости, заданной равенством (102), превращающимся во второе равенство (101) при F'(x) = 0.
Рассматривая отрезок AB как вихревой слой, будем иметь, как и в случае пластинки, следующие соотношения между касательными и нормальными компонентами скорости возмущения жидкости вихревым слоем сверху и снизу слоя:
и+ (х) = — и_ (х), v\ (х) = v_ (х) = V (х). (104)
В настоящее время существует несколько методов решения поставленной задачи. Можно было бы составить общее выражение сопряженной скорости потока, индуцированной вихревым слоем неизвестной интенсивности Y (х):
4-е
V* г= JL Г т (•*')dx'
2т J г — х'
и» совершив предельный переход Z-* X в некоторую точку Af (х) Сл°я, написать условие равенства мнимой части этого предельного значения скорости заданной функции v* (х), согласно (102).
Такой путь решения задачи привел бы к необходимости решать относительно неизвестной интенсивности ч (х) сингулярное интегральное304
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ і пі. V
уравнение первого рода +с
і J ^^-^w-'"
—с .
Уравнение это будет иметь единственное решение, если потребовать дополнительно, чтобы Y (с) = 0, т. е. чтобы задняя кромка пластинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью. Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея в виду, что после разыскания функции к (х) необходимо производить еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно • обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить скорость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после этого при желании легко найдена как разность касательных скоростей на нижней и верхней границах слоя).
Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан Л. И, Седовым.1
Представим искомую сопряженную скорость возмущенного движения как произведение
^-/ЩПг), (105)
где /(г) — ограниченная голоморфная вне отрезка AB и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции V* будут выполняться условия: V* (с) = О, V (с) — W00 безотрывного обтекания задней кромки (г = с). На передней кромке (г=—с) скорость в общем случае обращается в бесконечность.
По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции /(г) через ее значения на контуре:
(106)
где L — контур выреза AB с двумя бесконечно малыми кружками, выделяющими точки разветвления А и В подинтегральной функции
/(?=]/ T^f V* (С),
причем в верхней части разреза AB у корня следует брать знак плюс и считать
т=/Щ к. (?) - =- / к © - ©і,
» См. Л. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости-Оборонгиз, 1939, стр. 37—40; подробный анализ решения Л. И. Седова приведен также в курсе Кибель, Кочин и Розе, Теоретическая гидР0" механика, ч. 1, Гостехиздат, 1948, стр. 288—296.^ 47] ЗАДАЧА OB ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЮГНУТОЙ ДУЖКИ 305
на нижней половине разреза
/~Щ [ul (?) __// = г /EEJ [и_ © - ^(Qj;
тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем привести' равенство (105) к виду;
Hh^ "* «___
— 1 ,/"z — c Г UmFf(Z)-Vcxi ,/"с + |
W = -V т+7 J е-ж V 7=1** №
— с
представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной скорости. Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что в силу малости угла Oco можно положить:
«со = I Voo |, 1Pco = I Vroc I • 0 окончательно получим:
V(z) = V03 jT V*(z) =
/Hjdfc (108)
ш та ' 2+с J 5 — г г с — 5 v 7
—е
Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку. Для этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрицательным степеням выражений:



