Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Pco
(22) I
§ 311
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК 331
Подсгавляя это значение р' в формулу (22), найдем общее выражение коэффициента давления р в линеаризированной теории
V = -?¦- (23)
у со
В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из формул (21), иметь
- 2ет . — т Vi-ма у
P=--' sin fX ¦ е ' у
Vi-K
Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому приближению, положим в последней формуле = будем иметь
— 2еу
(P)v-O = - Sinтх.
Vi-к
Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при данном M00 и несжимаемом (Mco = 0), получим
Реж^ __ 1 Sf = O
PbUy = O Vl-Mlj
— важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенки растет с числом Mco по закону
P^= /неж . (24)
Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено.
Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (Mco > 1). Вводя в этом случае обозначение
W8 = M^0- 1, перепишем уравнение (15) в виде:
дЦ' 1
дх1 ду2
0. (15')
Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение (Л и /2—символы произвольных функций)
Y =ft(x — Uу) +/а (х + ту),
в чем легко убедиться простой подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому
f ^x-ту), 332 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Полагая
X-O^ = C1,
убедимся, ЧТО ВДОЛЬ прямых ЭТОГО семейства (С,) величины Y' W, v', р' и т. д. принимают постоянные значения 'У (C1), и' (C1) и т. д. Вспоминая сказанное в § 28 гл. IV, видим, что семейство прямых (C1) представляет одно из двух семейств характеристик волнового уравнения (15'). Аналогично, семейство прямых (C2)
л:+coy =C8
представляет второе семейство характеристик того же волнового уравнения.
Уравнение (15') — линейное уравнение с постоянными коэффициентами; в силу этого характеристики (C1) и (C8), в отличие от рассмотренной в § 28 гл. IV нелинейной системы (27), определяются в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным значениям ф', к', v', р' и т. д. вдоль некоторой линии, не принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величин во всей плоскости:
Ur (х — а>у) = и' (C1), Vt (х — CDJ/) = ч/ (C1), и' (х + ту) = и' (C2), v' (х + Wу) = ©' (C2) и т. д.
Принимая во внимание необходимость выполнения граничных условий:
при у = О Y = — Vco є sin ?х, = у-) при у СО 6' к конечной величине, будем искать функцию 6' в виде
Y = A sin [7 (Х-CDJ/)].
Тогда из первого граничного условия будет вытекать
A = — IZco6,
что приведет к следующим окончательным результатам: <]/ = — V00SSinfy(X-CDy)],
1 di>' V^e
cos [y (х — coy)],
M^-I ду VmI-I
¦ = VcoSY cos її (х — <»У)], COS [7 (х-шу)]
VK-I
(25) ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПOfOfc!
333
На поверхности волнистой стенки в выбранном приближении (_у = 0) будем иметь:
2єї -cos (26)
(P)
V=O "
Vm'— і
Проанализируем полученные результаты (25). Прежде всего отметим следующее специфическое свойство сверхзвуковых потоков: возмущающее влияние стенки на поток не исчезает при удалении от стенки, как это имело место в дозвуковых потоках. Наоборот, возмущения, создаваемые стенкой, сохраняют свою величину вдоль наклонных к стенке прямых линий (рис. 104):
: const.
х-
¦ шу ¦¦
Мю>1 Рис. 104.
Угловой коэффициент этого семейства характеристик волнового уравнения (15') равен
dy dx
= tga
УМ 2
1
arc sin
M
По § 27 гл. IV заключаем, что характеристики играют роль линий возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Чем больше число M00, тем меньше „угол возмущения" а, образуемый линиями возмущений с осью Ох. На рис. 104 показано взаимное расположение
линий тока и „линий возмущения" — характеристик сверхзвукового потока.
Сравним между собою распределения давления по поверхности стенки в дозвуковом (23') и сверхзвуковом (26) потоках. Распределения эти сдвинуты по фазе друг относи-
тельно друга на у (рис. 105), чго
приводит к принципиально отлич-Рие. 105. ным распределениям давлений в до-
и сверхзвуковом потоках.
В дозвуковом потоке, в полном согласии с обычными представлениями о сгущении линий тока при обтекании выступов и, наоборот, разрежении линий тока при омывании впадин, р достигает своего максимального и минимального значений во впадине и на гребне волны (рис. 103). В сверхзвуковом потоке, как видно из (26), на гребне волны, так же как и во впадине, коэффициент давления р 334 1ІЛОСКОЕ feE3BHJ?PEB0E ДІИЖЕНИЕ СНИМАЕМОГО ГАЗА [ґл. Vj
равен нулю, т. е. р = Pco; давление достигает своего максимального значения (рис. 105) по середине восходящей ветви синусоиды (jc = o), в точке перегиба синусоиды, и минимального — по середине склона (ж = *).
Формулы (23') и (26) можно переписать в виде:
GU-
(27)
2Л
где функция h (je) = є sin -j- x = є sin ух определяет ординату волнистой стенки. Как видно из выражений (27), распределение давлений при дозвуковом потоке находится в противофазе с профилем волнистой стенки, т. е. следует за изменением ординаты, но в противоположном направлении. Распределение давления в сверхзвуковом потоке оказывается пропорциональным угловому коэффициенту профиля стенки, т. е. тангенсу угла наклона профиля стенки к оси Ох, или, в силу малости углов, пропорциональным самому углу наклона. Назовем угол между направлением скорости в данной точке и осью Ox местным углом атаки. Тогда из второй формулы системы (27) следует, что коэффициент давления на поверхности стенки в линеаризированном сверхзвуковом потоке пропорционален местному углу атаки:
