Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Введение средней векторной скорости Vm представляет большое удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей: одиночных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же жидкостью при равенстве скорости на бесконечности Vco — в случае одиночного профиля и средней векторной скорости Vm — при обтекании профиля в решетке, будем иметь для отношения подъемных сил равенство:
k r^z Rреш " ^ОДИН--Греш • Годин*
Направление подъемных сил при V00 == Vm также будет одинаковым.
Замечая, что, в силу равенства
t vd=t. Va-1. V1 = о,
вектор t перпендикулярен к Vd (вектор Vd, следовательно, имеет то же направление, что и ось решетки), а вектор t X Vd перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и к Vm, можем переписать равенство (120) в виде
R = PtVmVd.
Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119), имеет то преимущество, что указывае-в- в явной форме зависимость (прямую пропорциональность) главного вектора R от плотности жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей — средней векторной и скорости девиации потока решеткой. ^ 49J теорема жуковского для плоской решетки 321
Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай безвихревого обтекания плоской решетки профилей. Легко видеть, что при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского переходит в теорему для одиночного профиля. При f-> оо циркуляция Г стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля, следовательно, то (119'):
при t—> со, Vd->-О, V1-S-V2 —> V оОз
так что
V1* = у (V1+V2) ^Vco,
и мы вновь приходим к обычной формулировке теоремы Жуковского о подъемной силе одиночного крылового профиля.
Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ox по вектору-шагу, а ось Oy по оси решетки, то в обычных обозначениях будем иметь, согласно только что выведенным векторным формулам:
Rr — OvmV = і р (V1 + v2) Г,
Ru=~Р",«Г = — уPfa1+ ?)Г, \ Г ==/(?- V1).
(121)
Постановка прямой задачи об обтекании решетки такова: задается вектор скорости перед решеткой V1, геометрические параметры решетки (шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью решетки и направлением потока перед решеткой или какой-нибудь другой, связанный с ним угол. Следует определить направление и величину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку.
В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул рассмотрим обтекание пластин, расположенных вдоль оси х (рис. 80). Согласно теории, изложенной в § 40, скорости на бесконечности V1 до и V2 за решеткой будут в этом случае иметь проекции (выбранное в § 40 направление осей координат отличается от настоящего):
U1 == Uco — q, V1=Voj;
«2= «со+?. ^2=4W где * *
, та
а "со и V00 — проекции иа оси координат (рис. 80) скоростей на бесконечности до и за решеткой при бесциркуляционном обтекании рассматриваемой решетки.
21 Зшь 1841. л г. Лонцдаский. 'дйй
плоское безвихревое движение жидкости
[гл. V
Средняя векторная скорость Vm будет иметь, очевидно, проекции:
Im
J (и, + «о) = «о
"2 (»1 + г'2) = »со.
равные проекциям скорости, соответству ющей бесциркуляционному обтеканию решетки пластинок.
Замечая, что шаг в данном случае равен t = 2а, будем иметь по последней из формул (121):
TtC Til
Г = 2а [(H00 + q) — (M00 — q)} = Aaq = Aavco tg = 2tvm tg ,
где I = 2с — длина пластинки. Вспоминая формулу (61) § 40, найдем по (120) отношение подъемных снл пластинки в рассматриваемой решетке и одиночной пластинки:
ItC
р
^_ ^jern
Aavn
реш
2 а
Яп
2~cv,,
2а
КС
ж ~2а
2t пі
^tg 27'
(122)
Как видно из полученной формулы, коэффициент k пересчета подъемной силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки в решетке представляет функцию относительного шага tjl. В случае решетки
пластинок, ориентированных перпендикулярно оси решетки Ох, соответствующая формула пересчета имела бы вид
к 2,5
*, 2t л ~Л k=rtth2t-
(123)
Ha рис. 101 приведены графики зависимости коэффициента k от относительного шага решетки пластинок прн различных углах установки P (рис. 99) пластинок в решетке. Соотношениям (122) и (123) на графике соответствуют крайняя верхняя и крайняя нижняя кривые. Интересно отметить, что прн углах р, меньших 50°, и при любых относительных шагах коэффициент k меньше единицы, т. е. подъемная сила пластинки в решетке меньше, чем у одиночной пластинки. Наоборот, при углах установки, приближающихся к P = 90°, и не очень малых относительных шагах коэффициент k становится значительно превосходящим единицу. При больших
-Vi
относительных шагах
(т
оэ)коэффи-
Рис. 101.
циент k, естественно, независимо от угла установки р, стремится к единице.
Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей представляет задачу, значительно более трудную, чем соответствующий вопрос теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет становиться иа изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки , ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшем ^ 49] теорема жуковского для плоской решетки 328
