Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
имея в виду, что при -I = O преобразование (100) переходит в обычное преобразование Жуковского — Чаплыгина (94').
Я. М. Серебрнйский использует более простое преобразование (99'), однако с точки зрения выгодного для дальнейших расчетов максимального приближения „почти-круга" к кругу можно рекомендовать для профилей с конечным углом на задней кромке применение преобразования (1U0), учитывающего наличие этого угла.
Обозначим (рис. 97) через х0, J10 декартовы координаты точек Af0 на профиле К в плоскости г, через ?0, Yj0 — декартовы и через ри, ? — полярные
координаты соответствующих точек Mq „почти-круга" К* в плоскости С и через а — радиус близкого к „почти-кругу" точного круга L в плоскости <¦>» на рис. 97, совмещенной с плоскостью L Наиболее трудоемкими в смысле вычислений операциями являются: определение уравнения „почти-круга" в полярных координатах и представление логарифма отношения раднуса-век-Topa PuI є) к радиусу круга а в виде ряда Фурье
со
In == «о + ? (ап cos па -f bn sin т) (IЮ) § 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 311
Для этой цели следовало бы применять математические механизмы: конформный трансформатор для преобразования заданного профиля в „почти-круг" и гармонический анализатор для определения коэффициентов Фурье ап, b . Механизмы» осуществляющие конформные преобразования (99') и (100), уже давно изобретены советскими учеными,1 но еще не внедрены в аэродинамическую практику.
Аналитическое установление связи (ПО) между рс н є не представляет каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений.
Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль)
/ Z \ I/O / z Slo ? _ (* + ос)1/' + (г — ас)1'" W+1J + fe 1J
С (z + cc)1^ —(Z-GC)1Zcl , г . Л1/а (z Л1'"
.9 /2
Й+1) -й-1)
и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в частях длины ос, а радиус-вектор р — в частях длины с. Сохраняя обозначение С, р, z, х, у для этих безразмерных величин, будем иметь:
Г _ > = (*+ 1)^ + (2-1)1'3. ре
положим:
(Z I 1 )1/о = In р/ + «', (2 - I )1/cI =- In ;/' f іг" Z\l=r'e^', Z— 1 — r"e'>",
тогда 6} дсм иметь расчетные формулы:
In р = Iin -(ln +1п г//)3 +(?/ 4^ Ё">2
2 (In р' — In р")2 + (є' — є")2 '
є' + е" є' — <l"
: arc tS ьт,/ T I„ .// - drc tS-----
где:
' In pf + Jn p" Б In p' — In p" '
Jn p' = (r>)x!° cos (^Q, Jn p" = cos , e' = (r')1/a sin , e" = (r")1/a Sin ;
= VV+1)H\?. '-" = V(*— l)2 + y2,
1 С. А. Г e p ш г о р и и, Механизм для построения функции комплексного
1 / г2\
переменного Є = -g- (2 -J- — J. Изв. Ленингр. технолог, ин-та, т. II (XXVI),
юбилейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крыльев типа проф. Мизеса. Вестн. механ. и прикл. матем., т. I, 1929.
Л. Г, Л о й ц я н с к и й, О некоторых общих типах конформных трансформаторов движения. Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1925; Приближенное конформное преобразование и его применение в теории механизмов. Журнал приклади, физики, т. V, вып. 3—4, 1928; Основания синтетической теории конформных трансформаторов движения. Журнал приклади, физики, т. V, 1928. 312 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ і пі. V
Задаваясь парами значений координат профиля (х, у), поеледоваїельно вычисляем г', г", Y, '{", а затем р', г/', г', е" и р, е. При о = 2, т. е. в случае обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются.
По вычисленным значениям In р,« строим график In ptlQi. Для обработки
полученной кривой к виду (IlO) можно применять любые известные приемы гармонического анализа. В ранее цитированной работе Я- M- Серебрийского излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать тригонометрические представления резких местных отклонений на кривой вблизи точки є = El при помощи комплексов вида
!"1 + cos (е—Ej) Y
названных автором „горками". Применение широко затабулированных автором „горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для определения коэффициентов ап и Ьп.
Опуская изложение практических деталей вычислительного характера — их можно найти в ранее цитированной работе Я. М. Серебрийского, — будем считать, что ряд (IIO) уже составлен и коэффициенты его ап, Ьп определены. Обратимся к установлению приближенных формул конформного отображения области вне „почтн-круга" К* в плоскости комплексного переменного С на область вне круга L в плоскости о». Введем обозначения:
C = P 6*«, со = XfltfiO, (111)
где р, « являются полярными координатами точек плоскости С, а величины Xe и 6 соответственно полярными координатами точек плоскости о»; в последнем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на переменный коэффициент X, причем окружности L соответствует значение X = 1.
Следуя Я. М. Серебрийскому, будем искать функцию, отображающую внешнюю по отношению к „почти-кругу" К* часть плоскости С на внешнюю по отношению к кругу L часть плоскости ш, в виде
OO
? = ш ехр 2 сп т-й> (112)
п=0
где при О коэффициенты Cn являются комплексными величинами, a G0 представляет действительную величину. Тогда, согласно (111), найдем
