Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид:
д: sin a cos а 4-_ysin2 а = — д.
При выборе начала координат в фокусе О' и направления оси О'х по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь:
г, mI
го, = 0 = то——,
так что уравнение линии действия перепишется окончательно так:
х sin a cos a -J-_у sin2 а= — ~ д. ч. (im0) = o.
Найдем огибающую линий действия равнодействующей. Для этого по общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства и полученного из него дифференцированием по а равенства
xcos 2а -J-у sin 2а = 0. Будем иметь систему равенств:
х sin 2а —у cos 2а =28 —у, х cos 2а -у sin 2а = О,
откуда следует
X2 +у* = (28 —yf
или
x2 = 48 (8—у).
Огибающая линий действия равнодействующей, соответствующих разным углам атаки, представляет параболу, названную С. А. Чаплыгиным параболой устойчивости или параболой метацентров.1
1 С. А. Чаплыгин, К общей теории крыла моноплана. Собр. соч., т.Н» Гостехиздат, 1948, стр. 246—299. главный момент сил давления
293
расположение параболы устойчивости относительно профиля показано на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее проходит параллельно оси О'х на расстоянии
_у = 28 = — д. ч. (ш0) = м. ч. т0.
На директриссе находится точка О", с комплексной координатой zo„ = tn0; эта характерная точка профиля, называемая конформным центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла, особенно в теории нестационарного движения.
Для построения линии действия равнодействующей нет необходимости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных
У
Директрисса
Рис. 93.
к лучам, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директрис-сой. Поэтому, если известно положение фокуса и конформного центра, то построение линии действия равнодействующей производится без труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную бесциркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы устойчивости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направлению набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец, перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой. Этот перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил давления потока на крыло.
Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена к одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе. Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку крыла, например в точку пересечения линии действия равнодействующей с линией хорды, называемую центром давления. Центр давления крыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды. Крыловые профили, у которых положение центра давления не зависит °т изменения угла атаки, — так называемые профили с постоянным центром давления—представляют ряд конструктивных преимуществ. Примерами могут служить рассмотренная ранее пластинка или близкие Ill
294 плоское безвихревое движениг жидкости і пі. V
к ней симметричные профили, постоянный центр давления у которых лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом случае фокус совпадает с центром давления, а парабола превращается в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю, то фокус совпадает с постоянным центром давления.
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового профиля на круг. Преобразование Жуковского—Чаплыгина.
Теоретические крыловые профили
Среди многообразия функций (94), отображающих физическую плоскость течения г на вспомогательную плоскость С, рассмотрим некоторые простейшие, преобразующие в круг С* такие замкнутые контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям, предъявляемым к крыловым профилям.
Первое такого рода преобразование было указано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. и имеет вид:
(98)
Окружность С* радиуса с в плоскости С преобразуется в плоскости г в отрезок FF' (рис. 94) на оси Ox с концами в точках (— с, 0) и (-f- с, 0). В самом деле, полагая
г = CeUj
найдем
г = (е{* е-1*) = с cos s,
так что полному обходу окружности (O^Eg2ir) соответствует! двойной обход отрезка FF', справа налево и слева направо. Окруж*' ? 46] частные случаи конформного отображения 295
ностям C1, C2 в плоскости С будут соответствовать в плоскости Z софокусные эллипсы Cu C2 с фокусами FaF'; действительно, полагая, например, в (98)
С = be™, (b > с),
получим
Z= j{befe-i'j ,
откуда следует
1 (и I с" \
і л , с2 V + тт: ^Y"== L
Составляя коэффициент конформного отображения
_dz__ 1 / Ci \
m~<K~2\l C2J'
видим, что точки F* и F'* с координатами С = rh с являются особыми, так как в этих точках т. — 0, и конформность преобразования нарушается. В самом деле, углу к в точке F* соответствует угол 2тс в точке F, в чем легко убедиться, переписывая преобразование (98) в форме
от
и производя сравнение аргументов левой и правой частей для г и С, мало отличающихся от ±с [см. (79) § 42]. Показатель степени в правой части (99) приводит к удвоению углов, имеющих вершины
