Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Как можно заключить нз предыдущего, задача об определении обтекания крылового профиля произвольной формы не представляет теоретических трудностей Существующие в настоящее время работы посвящены, главным образом, улучшению вычислительных приемов.
Для той же цели может служить специальный электрический прибор, использующий для определения потенциала скоростей обтекания электрогидродинамическую аналогию (ЭГДА) между этим потенциалом и электрическим потенциалом, создаваемым в специальной электролитической ванне.
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской решетки с бесчисленным множеством профилей
Под плоской решеткой профилей (рис. 99) обычно понимают совокупность одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом, длину t, в заданном направлении, определяющем ось решетки. Угол р между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол (3' —углом установки профиля в решетке. Вектор t, равный по длине шагу и направленный перпендикулярно оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом; такое векторное представление шага позволит нам 318 плосйое ёезвихрг.во1: движение жидйобч'и |гл. V
в дальнейшем получить формулы действующих сил, не зависящие от выбора направления осей координат.
В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по
величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток в целом.
Обозначим (рис. 100) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через V1, давление — через ри соответственно вектор скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой — через V2 и р2; будем считать жидкость несжимаемой и плотность ее р повсюду одинаковой.
Рассмотрим в плоскости чертежа трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собою трубки тока, так как обтекание обладает свойством пространственной периодичности с периодом, равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два
бесконечно удаленные сечения трубки Js1 и о2, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через R главный вектор сил давления потока и а профиль, будем иметь:
(pi t ¦+ P (t • V1) V1 — P (t • Va) Va - R = 0, (118) ? 49j тёорьма жукойскоіб для плоской PbljirfKH зі9
где t — уже введенный ранее вектор-шаг, равный но длине C1 = G2 и направленный по перпендикуляру к этим сечениям; величины
t- V1 = t, V2
представляют равные между собою объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, (—R) — главный вектор сил давления профиля на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли, получим
P1-/J2 = ypVa —= p(V| — Vj),
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,
Pi-Pz = T P(yIH-V2)(V2-V1).
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость
Vm =4 (V1+ V,) и скорость девиации потока
Vtz = V2-V1,
характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь:
Pl-P2=^ljVm ¦ Vd, t. V1 = t • V2 = t • Vw, t • Vd = t • (V2— V1) — о, и равенство (118) перепишется в форме
R = P(V« • Vd)t —р(Vw • t) Vd,
представляющей известное разложение двойного векторного произведения
R = pv,„ X (t X vd). (119)
Вектор
T = IXVd = IXV2-IXV1 (1190
равен по величине циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему один профиль. Действительно, оба вектора справа имеют одинаковые направления (перпендикулярно плоскости чертежа), так
rHItX V2I-ItXV1H = I*. V1 sin ^pV1) t ¦ V2Sin(CV2)I =
= UV1 cos (O1Tv1) —/V2Cos (o^V2) I, 'дйй
ПЛОСКОЕ беЗВИХРЕВОе ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
с другой стороны, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг профиля, например по обводу контрольной поверхности, в направлении, указанном на рис. 100 отдельными стрелками, заметим, что слагаемые циркуляции, рассчитанные по отрезкам линий тока, в силу периодичности движения взаимно сократятся, и циркуляция сведется к разности
Г - ItV1 cos— /Vacos(OpV2)|.
Итак,
R = PVwX Г. (119")
В силу взаимной перпендикулярности Vm и Г найдем величину главного вектора в виде:
R = ?vmГ, (120)
аналогичном формуле Жуковского (86) § 43. Вектор R направлен перпендикулярно средней векторной скорости Vjn, играющей при обтекании решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности в случае одиночного профиля. Направление вектора R можно определять как непосредственно построением произведения (119) по заданным направлениям t, Vm и Vd, так и путем использования поворота вектора Vm на 90° в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции".
