Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
t-Ч ^Poo / a
-1'
или
V00I.'+Ji р'= 0.
гсо
Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем:
Pco
1 1
— I-Ma dv '
^0 У (14)
W I
v = --4-. I
дх j
Если последние выражения и' и о' подсгавить в условие отсутствия завихренности (4), то получим уравнение относительно <i':
d2j/ , I dW
Bxi 1 -M^3 ду2 = (15)
аналогичное уравнению (10) относительно добавочного потенциала о'.
Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированные уравнения плоского безвихревого движения сжимаемого газа; их следует решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости). Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших примерах.
51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль волнистой стенки
В качестве первого примера решений линеаризированных уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102) в виде синусоиды с амплитудой е, весьма малой по сравнению с длиной волны А. Уравнение такой стенки будет
.V = SSin-Jt-. (16)
' а.
Определим возмущения и', v', р', ре, вносимые твердой стенкой в однородный поток со скоростью V00, направленный вдоль оси Ох.
Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором Mo0 < 1, Обозначим через ю2 величину: 328
ПЛОСКОЕ БГ.ЗВИХР1 I50L ДВИЖЬНИЕ СЖИМАЕМОГО гл.зл
I гл. Vi
будем искать решение уравнения (15) при следующих граничных условиях:
при у = є sin -j- V —
или, согласно (12):
ІТ.Х
при у == s sin -j- 'У — — VmS sin
' (17)
при у —>• оо ф' —> к конечной величине. Попытаемся составить искомое решение, удовлетворяющее граничным
Рис. 102.
условиям (17), в форме произведения двух функций от отдельных аргументов X (х) и Y (у):
Y = Х(х). Y (у); подставив это выражение в (15), получим
X'(X) Y(у) +L х(x)Y" (у) = О,
или
(18)
Х"(х)
У" (У)
Х(х)
где у2 — некоторая постоянная.
JY О')
Отсюда находим систему частных решений
Х(х)
Sin ух, COS ух,
У (у) =
из которых можно составить комбинацию, удовлетворяющую граничным условиям (17),
4' — a sin• е- 1">у, (19)
2п
если положить -(¦ — — •
Действительно, на стенке (у = s sin ) должно но (17) выполняться равенство
Y = A sin ух • Sln (Г = A sin ух (1-у we sin ух-\-.. .)=—V^e sin ух. линеаризированный газовый поток
329
Это граничное условие будет выполнено приближенно, если положить
А = - VaJB (20)
и отбросить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеаризации, члены с е2 и высшими степенями г. Можно еще поступить иначе: выполнить первое граничное условие (17) точно, но не на поверхности стенки, а на оси Ох, положив
при у = 0, = — IZ00E sin -ух.
Подобный прием, характерный для всех методов рассмотрения движений, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, применялся уже в предыдущей главе при рассмотрении задачи об обтекании тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набегающей на дужку под малым углом атаки.
Второе граничное условие, очевидно, также выполняется.
Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи:
ф' = —V00S sln-yjc-е t^1 Ы™у, (19')
а используя (14), находим искомые проекции скорости:
, _W __ v^ . -(ут~&у \
— Ї-—~Г~ ~~ Г7 .г sin гх ¦ є , і
I-MJ0 ЗУ VaI-M^0 ' J
, дф' ,, — tV I
V = —- ^j" = VcoS7 COS7X ¦ Є . І
(21)
Как видно из этих решений, при удалении от волнистой стенки (у -* со) дополнительные скорости и' и ч/ быстро, по показательному закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки переходит в невозмущенный однородный поток со скоростью Voo (рис. 103). Сравнивая полученное дозвуковое движение газа с соответ- Vas
ствующим движением несжи- _ ---
маемой жидкости со скоростью ^
V00 около той же волнистой Сгенки (Moo = O):
и'== VooS7Sin 7х • е"- Wco=O' ' --------- M0O=O,9
v' = VcoS7 cos7jf • е" w> Рис. 103.
которое можно получить из (21), полагая в нем Mco = 0, заметим существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом потоке с ростом числа M00 область возмущающего влияния стенки увеличивается. 330 IUIOClCOL БЕЗВИХРЬВОЬ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом газе равны:
1 ?1 - V\ --Mfjcj) у
"Kl-Mi
Кж _ T(I-Vl-Mi)
- , е
Фисж
Таким образом, линии тока при Mco = О выпрямляются скорее, чем при больших M00 (рис. 103).
Определим распределение давления дозвукового потока на волнистую стенку.
Для этого введем, как обычно, коэффициент давления
Р— Pa,
2 PcovCO
который в случае линеаризированной теории равен
Pr
p^Jjl-T-
2 Poo * со
По теореме Бернулли
^kp Vi к P00
2 1 к — 1 Р~ 2 ' & — 1 Pco' исключая плотность при помощи изэнтропы,
P ==роо(-
получим
Jc_J
V3 , k . р CT- Роо Vl , к P0
JLYm
^pJ '
2 1 к-IKpcoJ p00 2 'к — 1 P00 или, вводя малые отклонения и', v' и р':
VL + ZVcoU t к poo,k-ip'\ Vi00i к Ро
¦1 PooV1 + k PJ 2 ^k-I P0
PL
Pcc
р' —-Pco Voo»',
