Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
к
W(S) = ?"/Vi
i= 1
Ni = 3 Л/2 = 2 N3=^
к
Y.iNi =1 хЗ + 2х2 + Зх1 =10
i = 1
РИС. 1. Получение индекса Винера W(G) для молекулы н-бутана.
строгих теоретико-графовых терминах, но он был переформулирован таким
образом позже, когда Хосойя [12] отметил, что индекс может быть получен
из матрицы расстояний графа рассматриваемого соединения. Кроме того,
индекс за время своего существования несколько раз модифицировался.
Альтенбург [13] преобразовал его в полиномиальную форму, Хосойя [14]
распространил его на циклические соединения, а Руврэ [15] предложил
индекс, который, как было впоследствии показано, точно равен удвоенной
величине W(G).
Сам Винер [16] разработал весьма родственный индекс, который он назвал
числом полярности. Этот индекс определен как число пар вершин,
разделенных тремя ребрами. Он был использован Винером и Платтом [17] для
установления корреляций с температурами кипения, теплотами образования и
парообразования, молярным объемом и молекулярной рефракцией алканов.
Математические соотношения также были получены для W(G). Например, в
случае н-алканов индекс определялся выражением
W(G) = (л3 - п)/6, (1)
где п - число углеродных атомов в алкане (или вершин в графе со
"стертыми" водородными атомами). Кроме того, известно, что этот индекс
связан с другими индексами, упоминаемыми позже: индексом Гордона -
Скантлбери и хроматическими информационными индексами.
186
Д. Руврэ
3. КОНСТРУИРОВАНИЕ ИНДЕКСОВ
Выше в общих чертах был описан генезис индекса Винера, типичный для
некоторых индексов, определенных позже. Поскольку число индексов в
последние несколько лет быстро возросло, мы не можем подробно рассмотреть
каждый из них. Поэтому мы просто их перечислим и укажем основные области
применения.
Топологический индекс выражает в численной форме топологию
представляемого им химического соединения. Топологические индексы в
основном строятся путем преобразования химического графа в число. Способ,
с помощью которого это осуществляется, изменяется от индекса к индексу.
Получение индекса Винера служит показательным примером. Исходя из графа
изучаемого соединения со "стертыми" атомами водорода, строится матрица,
отражающая топологическую структуру графа. Затем матрицу превращают в
целое число путем суммирования ее элементов в верхней треугольной части.
Полностью процедура иллюстрируется на рис. 2. Между прочим, отметим, что,
хотя ранее разработанные индексы являлись целыми числами, в случае
индексов, предложенных в последнее время, это не всегда так.
Получение топологического индекса
12 3 4
Химический индекс ¦
12 3 4
1 ГО 1 2 3"
2 10 12 3 2 10 1
4[з 2 1 О
Матрмщуюсстояний Суммирование W(S) = ю Топологическим индекс
РИС. 2. Схема получения топологического индекса, основанная на примере
индекса Винера для молекулы н-бутана.
Следует ли заниматься разработкой топологических индексов?
?87
'N
1 2 3 4 1 2 3 4
1 "о 1 2 з" 1 'о 1 0 0
2 1 0 1 2 2 1 0 1 0
3 2 1 О 1 3 0 1 0 1
4 3 2 1 0 4 0 0 1 0
Матрица расстояний
Мотрнаа смежности
РИС. 3. Матрица расстояний и матрица смежности для молекулы н-бутаиа.
Большинство современных индексов основаны на двух специальных матрицах:
матрице расстояний и матрице смежности. Каждый элемент в матрице
расстояний D(G) представляет собой число ребер, соединяющих вершину / с
вершиной j наикратчайшим путем, и обозначается как rf .. Элементы матрицы
смежности А (С?), обозначаемые как аи, равны либо единице, либо нулю в
зависимости от того, связана ли ребром вершина i графа G с вершиной j или
же нет. Соответствующие матрицы для молекулы н-бутана приведены на рис.
3. Две матрицы связаны друг с другом общим уравнением
D(G) = A (G) + I B(G), (2)
где суммирование проводится по всем матрицам B(G), содержащим элементы,
имеющиеся в D(G), но отсутствующие в A (G). Учитывая это общее
соотношение, не удивительно, что существуют математические корреляции
ряда пар индексов.
4. ИНДЕКСЫ МАТРИЦЫ РАССТОЯНИЙ
В этом и последующих трех разделах мы перечислим все существенные
топологические индексы, предложенные до настоящего времени. Поскольку мы
можем дать здесь не более чем краткое (в общих чертах) описание этих
индексов, для заинтересованного читателя с целью более детального
ознакомления приводятся ссылки на два последних обзора Балабана и сотр.
[18, 19]. Мы начнем этот раздел с обсуждения индексов, основанных на
матрице расстояний D(G).
188
Д. Руврэ
1. Индекс Винера W(G), который мы описали выше [11], сейчас обычно1
определяют уравнением
w(G)=\Y,d"> (3)
/
где обозначения имеют прежний смысл *.
2. Число полярности P(G) также было сформулировано Винером [16] и
определено следующим образом:
р(с"=! ? ">¦>, <4>
I
где d3 ( - расстояния в графе G, для которого была построена матрица
D(G). Расстояние в этом случае равно 3.
3. Индекс суммы расстояний S(G), впервые предложенный независимо Бончевым
и сотр. [20] и Полански [21], определяется как сумма всех элементов в /-й
