Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
строке матрицы D(G), т. е. он относится к отдельной вершине /:
5(G) (5)
у= 1
где j принимает целочисленные значения, соответствующие всем п вершинам
графа G (или всем углеродным атомам в молекуле).
4. Связность по сумме усредненных расстояний J(G) была введена Балабаном
[22] и определяется как
•,<0, = 7?Т L "*>
adj i,j
где д - цикломатическое число графа G (т. е. число циклов в молекуле), vD
l и vD - суммы расстояний; суммирование проводится по всем смежным
вершинам. Этот индекс обычно имеет нецелочисленное значение.
5. Полином Альтенбурга a(G), кратко упоминавшийся выше
[13], получается непосредственно из индекса Винера W(G).
Уравне-
ние (3) преобразовывается в полином:
a(G) = ? (7)
* То есть индекс Винера определяется как полусумма всех элементов матрицы
расстояний в молекулярном графе. - Прим. перев.
Следует ли заниматься разработкой топологических индексов?
189
где а( - переменная с индексом, введенная исключительно с целью
перечисления, а #( соответствует числу пар вершин в матрице D(G),
расстояние между которыми равно /.
6. Индекс среднеквадратичных расстояний D(2)(G) определен Балабаном и
Мотоком [23] в соответствии с формулой
[di( max) di(max) "11/2
I stf/l g,\ , (8)
</,=i / </,= i
где обозначения прежние.
7. Индекс расстояние между вершинами VDI(G) был введен Бончевым [24]
после нескольких предшествовавших попыток Ран-дича [25] однозначно
охарактеризовать химические графы. Он имеет следующий вид:
VDI(G) = ? (g;f, (9)
L
где - число повторений элемента d, для вершины j в D(G). Аналогичным
образом индекс расстояний в графе GDI (G) определялся как
GDI(G) = ? (?, )2. (10)
/
8. Индекс Хосойи Z(G) введен в 1971 г. и задается [26] уравнением
[п/2]
Z(G) = ? p(G, к), (11)
*=о
где p(G, к) - число способов, с помощью которых к ребер графа
G могут быть выбраны так, что никакие два не будут смежными;
[я/2] означает наибольшее целое число, не превышающее действительного
числа п/2.
9. Полином расстояний Z'(G) также был предложен Хосойей [27] и имеет вид
Z'(C)=?la,l, (12)
Р-0
где а - коэффициенты характеристического полинома матрицы D(G).
190
Д. Руврэ
5. ИНДЕКСЫ МАТРИЦЫ СМЕЖНОСТИ
В данном разделе мы перейдем к перечислению топологических индексов,
полученных на основе матрицы смежности A (G). Последовательная нумерация
индексов, принятая выше, продолжена в этом разделе и в следующем.
10. Индекс Платта F(G) введен в 1947 г. и определен [28] как сумма числа
Связей, смежных с каждой из связей в молекуле или в другой химической
частице. Он равен сумме степеней каждого ребра в графе G, что отражается
формулой
Тполн
F(G) = ? deg ef, (13)
f= i
где deg ef - число ребер, смежных с ребром /, и /полн - полное число
ребер в графе G.
11. Индекс Гордона - Скантлбери [29] Y(G) определяется как число
способов, с помощью которых ациклический фрагмент
С-С-С может быть наложен на граф G со "стертыми" атомами
водорода. В терминологии теории графов этот индекс равен просто числу
путей длины 2:
У(С) = ? (/?2),, (14)
I
где р2 - путь длины 2 в графе G. Этот индекс равен точно половине
величины индекса Платта F(G).
12. Индекс связности Рандича [30] x(G) определяется следующим образом:
x(G) = ? (v,t>j)~'/z, (15)
ef
где i>( и Vj - соответственно степени вершин / и j в графе G;
суммирование проводится по всем ребрам графа G.
13. Индекс полной смежности Л'(G), введенный Бартоном [31], является
просто суммой всех элементов матрицы смежности A{G):
А'(0)=?ац. (16)
'.j=i
Этот индекс может лишь различить молекулы с разным числом циклов, т. е.
графы, имеющие разное число циклов.
14. Первые индексы, основанные на матрице смежности A(G), введены
Тринайстичем и его сотрудниками в Загребе (Югославия), и в настоящее
время на них обычно ссылаются как на индексы загребской группы. Два
индекса, предложенные этой группой в
Следует ли шниматося рафаботкой топологических инлексон?
191
1975 г. [32], имеют вид
Af,(G) = ? "?, (17)
1=1
m2(G) = ? (vlVj), (18)
е/
где V, и Vj - соответственно степени вершин / и j в графе G. Для индекса
М, суммирование осуществляется по всем вершинам графа G, тогда как для М2
- по всем ребрам графа G.
15. Индекс и код сравнимости введены Гутманом и Рандичем [33] с целью
сравнения и упорядочивания химических структур. Код сравнимости V(G)
определяется как
V(G) = O', i"2..-О, (19)
где vt - число вершин графа G, имеющих степень / (некоторые из этих
членов могут быть равными нулю). Индекс сравнимости M3(G) определяется
как
M3(G) = ?*?.' (20)
/= I
16. Наименьшая двоичная запись SBN, введенная Рандичем [34], является
результатом преобразования матрицы A (G) в двоичную запись. Строки и
столбцы A (G) переставляются до достижения наименьшего возможного
двоичного числа, при котором строки читаются последовательно. Этот индекс
был предложен с целью решения проблемы изоморфизма графов, но он слишком
громоздок, чтобы использоваться на практике в качестве топологического
индекса.
17. Индекс наибольшего собственного значения X,, основанный на
