Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
X < вх.
При высоких значениях п функция F~ (у) близка к 1, когда у < < 1, и
близка к 0 при у > 1. Предположим теперь, что у > 1 в течение
достаточного времени; в этом случае х не синтезировался в течение этого
периода и х ~ 0. Пусть теперь у становится меньше 1; функция F принимает
значение 1, и можно записать
х = кх - к_хх.
На основании этого величина х определяется как
* = - *¦*-"'). (2)
К-\
Видно, что при небольших значениях t сама величина х мала, и, таким
образом, х ~ кх. По мере увеличениях член -к_ух возрастает; когда он
стремится к кх, х стремится к 0, ах - к кх/к х.
Так как в данном случае начальное значение х было равно 0, то время,
необходимое для достижения порогового значения х = 1, является не чем
иным, как запаздыванием образования ta при булевом описании.
Следовательно, можно записать
1 = р-(\ - е-*-"'"). (3)
К-\
Будем рассуждать аналогичным образом в случае разложениях. Если у <
1 в течение достаточного времени, то количество х, которое
было синтезировано в течение этого периода, приближается к
своему максимальному значению kx/k_x. Если теперь принять у > > 1, то
синтез х остановится: х = - Аг_,х,. На основании этого
Время, необходимое для того, чтобы величина х понизилась до своего
порогового значения 1, соответствует запаздыванию разложения ta. Таким
образом,
1 = (4)
*-i
Из уравнений (3) и (4) можно получить:
а) Приближенные выражения в явном виде для ta и ta как функций кх и
к_{ (или, в более общем случае, для tt и t_1 как функций к,
362
Р. Томас
и к_,):
'¦-ib-A' <5)
Ю
б) Выражения, с помощью которых величины и , могут
быть получены итерационным путем из величин ta и t- (или, в бо-
лее общем случае, величины kt и к- из /, и t
к> = , k~Lk-, (7)
1 - е
и к_, = к,е~к-''-' (8)
или к = - In . (9)
к
В зависимости от конкретного случая итерационный процесс сходится обычно
для пары (7, 8) или для пары (7, 9).
Отметим, что, хотя мы должны знать к, и кв отдельности для того, чтобы
определить t, и t_t, и наоборот, отношение tl/t_l зависит от отношения
к1/к_1, и наоборот:
1 к1
1п ----
_ к, ~ к-,
In i
В частности, запаздывания образования и разложения для переменной равны
(tt = t_,) при kt/k_t = 2.
То, что было показано выше для случая отрицательного управления (.F~),
может быть распространено при соответствующих изменениях на случай
положительного управления или в общем на комбинации сигмоидальных
гомологов булевых функций. Соотношения между запаздываниями и параметрами
остаются теми же самыми; однако, когда рассматривается сумма членов,
может возникнуть необходимость использовать более одного запаздывания
образования.
Ранее я рассмотрел простой случай переменной, которая переключалась в
положение "включено" из величины 0 и в положение "выключено" из величины
к/к_ для стационарного состояния. Это, конечно, не всегда так.
Рассмотрим, например, систему логи-
"Логическое описание"
363
ческих уравнений _ _
а - у, b = а, с - /3
и гомологичные дифференциальные уравнения (в которых переменные уже
редуцированы)
х = kxF~ (z) - к_хх,
У = k2F~ (х) - к,??,
z = k3F~ (у) - k_3z.
При булевом рассмотрении предполагается периодическое изменение
переменных. Циклом является
О fir а 6 с
ff 0 5 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 1 Т 0 1 0
0 1 0 1 1 0
1 Т 0 1 0 0
т т т 0 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
етп |* " on -5-* ою
-<t I*
1 о 1 "S 100 *-=-
JT г
Примем в качестве начального состояние 001 цикла. При возникновении этого
состояния х только что изменился от 1 до 0; таким образом, величина х
точно равна пороговому значению 1 (и уменьшается). Переменная у начинает
увеличиваться; если ее начальное значение было равно 0, то можно было бы
просто записать
У = О - е~к-*').
- 2
Однако это не так (см. ниже); значение у при возникновении состояния 001
условно назовем ymm. Переменная у будет увеличиваться согласно уравнению
^2 _ ( ^2 _ ,, \o~k-
У = к2~ I - ~ уш* Iе
В частности, когда ( = (0,у = 1:
/с, /к-, \
364
Р. Томас
Величина ymin может быть определена следующим образом. Булева переменная
/3 изменяла свое значение от 1 до 0 при возникновении состояния 100;
точно в этот момент .у = 1, и зта величина продолжает уменьшаться
экспоненциально. Состояние 001 достигается спустя / + trx. Таким образом,
ymin = е-Аг-2<'т + 'а) и уравнение (9) приобретает вид
Аналогично, когда мы достигаем состояния 011 и г как раз начинает
уменьшаться, вместо записи, что t- представляет уменьшение z от к3/к_ j
до 1, мы будем записывать, что эта величина представляет уменьшение z от
zmax (вероятно, у < к3/к_3) до 1:
гическая переменная у изменяла свое значение от 0 до 1 при возникновении
состояния 101. Точно в этот момент z - 1 (и увеличивается). Пока z
синтезируется, можно записать
или
1 = e-k-2(ly + la + l0'> + _^2_ (1 _ e~k-lh)
• к-г
к2 _ 1 - e~*-2(,T + 's + 's)
к_2 1 - е~к~2'в
По аналогии можно записать
к3 1 - + +
к_з ~ 1 - e~k-3'i
и
к1 _ 1 - е_*-1('0+,;; + '")
/с . 1 - е~к~',а
Следовательно,
1 _ е~к-\(,p+ly+,oi'>