Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
изменениям параметров и изменениям вида /. Очевидно, важно иметь
возможность получить аналогичную информацию об общих системах. Такая
информация позволила бы предсказать, например, каким образом изменится
динамическое поведение, когда катализатор на некоторых реакционных путях
отравляется или добавляется новый реакционный путь. Если бы имелись
хорошие методы для получения этой информации в случае больших систем, то
мог бы быть разработан составной характеристический индекс, служащий
мерой устойчивости, чувствительности и эффективности, и могли бы быть
сопоставлены альтернативные пути синтеза. Такие сравнения вполне могут
дать представление о том, почему существующие пути биохимических реакций
и сети, построенные из них, эволюционировали к их современному виду. К
сожалению, такие методы до сих пор отсутствуют, но ясно, что возможность
систематического анализа того, каким образом феноменология реакции и
структура сети отражаются в динамических уравнениях, является шагом в
этом направлении. Методы теории графов, используемые нами в данной
работе, по-видимому, хорошо подходят для этой цели.
Глобальная динамика реакционных систем
347
Значительный прогресс в понимании особых классов реакционных сетей был
достигнут другими исследователями. Ранняя попытка получить глобальные
результаты для открытой системы с идеальной кинетикой действующих масс
была предпринята Широм [17]. Однако, как отмечено Хиггинсом [6], //-
функция Шира, которая фактически характеризует термодинамическую
возможность системы достичь предполагаемого "Стационарного состояния, не
является для всех систем функцией Ляпунова, как это утверждал Шир. В
статье, явившейся поворотной вехой, Хорн и Джексон [9] показали, что,
если строго положительное стационарное состояние существует, возможность
достижения его характеризуется локальной функцией Ляпунова в том случае,
когда поток для стационарного состояния уравновешен. Если можно также
установить, что на границах симплекса равновесия отсутствуют, и если
точка равновесия находится во внутренней области симплекса, то она
единственная и глобально устойчива. Наша формулировка первоначально
мотивировалась стремлением распространить эти результаты на системы с
кинетическим законом действующих масс в общем случае неидеальных
растворов и определить другие классы систем, для которых могут быть
сделаны аналогичные выводы. Примеры трудностей, возникающих в случае
неидеальных систем, указаны в работе От-мера [14]. Результаты
предшествующего раздела дают представление о том, как могут быть
рассмотрены другие классы систем и кинетические уравнения для скорости
реакции.
Мы не являемся первыми, применившими методы теории графов к анализу
реакционных сетей, и в заключение хотим упомянуть некоторые родственные
работы *. Арис [1] разработал алгебраический подход к анализу реакционных
систем, а Селлерс (1966) применил к этой задаче идеи алгебраической
топологии и теории графов. Разработанный в работах [12, 16] подход,
основанный на сетевой термодинамике, в котором для представления реакции
использовались графы связей, связан с работой Селлерса. Структура графа,
представляющего систему, совершенно отлична от используемых нами тем, что
в ней к вершинам относили вещества, а не комплексы, и представление
химических реакций было более усложненным. Хорн [7] признал,, что сети
могут быть представлены графами, в которых вершины представляют
комплексы, но этот факт не был
* Помимо работ, указанных автором, отметим работу [27*], в которой для
представления полиферментных систем и анализа устойчивости использовались
направленные графы. См. также [28*1 и литературу, цитированную там. -
Прим. перев.
348
X. Отмер
им использован для анализа структуры динамических уравнений. Им также
были использованы графы веществ (графы, в которых вершины представляют
вещества) для анализа систем, в которых все комплексы имеют самое большее
два соединения [8]. В работах [22, 23] продолжено это направление
исследований и перечислены различные типы систем с идеальной, кинетикой
действующих масс второго порядка. Другие недавние результаты обсуждаются
в некоторых статьях, приведенных в этой -книге *.
Литература
1. ArisR., Arch. Rat. Mech. Anal., 1965, v. 19, p. 81.
2. Chen W.-K., Applied Graph Theory, North-Holland, Amsterdam, 1976.
3. Feinberg М., Arch. Rat. Mech. Anal., 1972, v. 49, p. 187.
4. Giblin P.J., Graphs, Surfaces and Homology, Wiley, N.Y., 1977.
5. Hartman P., Ordinary Differential Equations, Hartman P. Baltimore.
1973.
6. Higgins J., J. Theor. Biol., 1968, v. 21, p. 293.
7. Horn F., Proc. Roy. Soc. Lond., 1973, v. A332, p. 299.
8. Horn F., Proc. Roy. Soc. Lond., 1973, v. A334, p. 313.
9. Horn F., Jackson R., Arch. Rat. Mech. Anal., 1973, v. 48, p. 81.
10. Lorenz E.N., J. Atm. Sci., 1963, v. 20, p. 130:
11. Mangasarian O., Nonlinear Programming, McGraw-Hill, N.Y., 1969.
12. Oster G., Perelson A., Arch. Rat. Mech. Anal., 1974, v. 55,
