Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
теореме 3 возникает из того факта, что отсутствуют ограничения величин
входных потоков. Без этого требования скорости одной или больше реакций
могли бы достичь предельной величины и для достаточно большого входного
.потока стационарные состояния могли бы отсутствовать, как мы наблюдали
ранее. Для рассмотрения более общей проблемы монотонных, но не
обязательно неограниченных функций скорости следует предположить, что
входные потоки меньше максимального потока по всем путям к стоку. Когда
явные входные потоки отсутствуют, условие, связанное с производными,
может быть снято, и можно доказать следующую теорему.
Теорема 4. Пусть G - граф сети, в которой отсутствуют явные входные
потоки. Предположим, что гипотеза 1 теоремы 3 справедлива и что Pj(c)
удовлетворяют гипотезе 3 этой теоремы, за исключением условия для
производных. В таком случае:
1. /, = 0, /2 = 1 и 5 = 0.
2. Симплекс П(с0) - компактный и инвариантный при полупотоке (20).
3. Стационарное состояние является единственным глобально асимптотически
устойчивым в симплексе П(с0).
Как и прежде, доказательства пп. 1 и 2 просты, а доказательство п. 3
основывается на неотрицательности недиагональных членов якобиана.
Конечно, неотрицательность возникает вследствие монотонности уравнений
для скоростей, и легко построить примеры, для которых единственность
стационарного состояния не выполняется, когда это предположение
ослаблено. Например, рас-
1 2 3
смотрим реакционную схему треугольного вида А - В - С -• А со следующими
выражениями для скоростей реакций:
Р1(А) = к1А, Р2(В) = -К^~+ в-г, Р3(С) = к3С.
Пусть П, зу40 + 50+ С0 - инвариант. Тогда обнаруживается, что
стационарные состояния задаются выражением
Глобальная динамика реакционных ^систем
345
As = -Ь-(Д. - Bs) и С5 = 0. - As - Bs, kt + k3
где Bs является решейием уравнения
/а - В) = кгЪ
к, + кг } к + в + в2 •
Последнее уравнение имеет три положительных решения при соответствующем
выборе констант и, следовательно, может существовать вплоть до трех
стационарных состояний. Два из них асимптотически устойчивы.
3.2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВХОДНЫЕ ПОТОКИ
Во многих задачах входные потоки зависят от времени и часто с хорошим
приближением являются периодическими. Известно, что постоянное возмущение
может вызвать периодические колебания и хаотическое поведение в обычных
системах; конечно, то же самое справедливо для периодического возмущения.
Рассмотрим систему
dx/dt = /(х) + 8g(t), (22)
где х е R2, / е С2 и g - это Г-периодическая функция. Решение 4>(t, х0)
генерирует отображение 3\\ R2 - R2, определяемое 3~(х0) = ф(Т, х0) для
любого х0 e R2. Фиксированные точки 3~ъ являются Т-периодическими
решениями системы (22). Если / (х) = О имеет решение гиперболического
типах*, то 3~0 имеет гиперболическую фиксированную точку при х*, и,
согласно теореме о неявной функции, 3~ъ имеет единственную
гиперболическую фиксированную точку вблизи х* при достаточно малой
величине 5. Таким образом, система (22) имеет единственное Г-
периодическое решение для 5 > > 0, которое сводится к точке покоя х * при
5 = 0. Однако поведение при возмущении может быть совершенно отличным,
если система (22) имеет устойчивое периодическое решение 7(0 для 5 = 0.
Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр М0 в (х - О-
пространстве и (как результат определения последовательных интервалов
времени величины Т) притягивающий инвариантный тор Т\. Известно, что при
малой величине 5 существует инвариантная поверхность Т1 около Т\, так как
Т\ имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей
функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и
выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае
уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой.
346
X. Отмер
Представляет интерес определение классов систем, для которых такая
усложненная динамика не наблюдается. Для этого часто желательно иметь
точность воспроизведения частоты при преобразовании сигнала. Системы,
описанные в предыдущем разделе, имеют единственное стационарное
состояние, которое глобально устойчиво, и, по-видимому, не удивительно,
что можно доказать следующую теорему.
Теорема 5. Предположим, что реакционная система удовлетворяет условиям
теоремы 3. Если явные входные потоки являются непрерывными
неотрицательными Г-периодическими функциями времени, то возмущенная
система имеет единственное неотрицательное Т-периодическое решение,
которое глобально асимптотически устойчиво в /?"+.
Доказательство этой теоремы и связанных с ней результатов будет приведено
в другой работе.
4. ВЫВОДЫ
Когда в смеси имеется только одна независимая реакция, динамическое
поведение в ходе реакции полностью описывается решением скалярного
уравнения ? = /(?) и качественный анализ не представляет никаких
трудностей. Легко можно определить стационарные состояния, нестационарное
поведение для всех начальных условий и чувствительность решений к
