Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
компоненте строго неотрицателен. Матрица цикла & может быть разбита в
соответствии с разбиением графа G, и, таким образом, & = [& Кроме того,
циклы могут
быть выбраны таким образом, что &а - [/! .У"], где / тождественно равен
га - ра + 1 и матрица /У " имеет ра - 1 столбцов. Поскольку поток Ра
уравновешен, он имеет представление Ра (с5) = ~ (.сёа)т\у и,
следовательно, . /j = ф, если единственным решением системы
(18)
= 0, а = 1 д,
а
1 д
является vv" = 0 для всех а. Следующая теорема позволяет нам определить,
когда это может осуществляться.
340
X. Отмер
Теорема 2. Пусть G - граф реакционной сети с р комплексами, q
компонентами и г реакциями. Любой неотрицательный уравновешенный поток на
графе G имеет представление
P(c)=3Tw, (19)
Л
где столбцы матрицы 3 т представляют направленные циклы графа G, каждый
из которых положительно ориентирован.
Доказательство. Без потери общности мы предполагаем, что q = 1, так как в
противном случае мы применяем следующее доказательство для каждой
компоненты в отдельности. Если граф G - сильно связный, то для каждого
подпространства циклов группы цепей С j имеется базис, состоящий из
представлений направленных циклов, и в этом случае выполняется (19). Если
граф G не является сильно связным, то разбиваем его на сильно связные
компоненты Gq, /3 = 1, ... , <7Й. Без потери общности полагаем, что qff =
2 и что все ребра между компонентами G1 и G2 направлены от G, кС2. Если
представление ориентированного, но не направленного цикла, появляющееся в
матрице Зт, соответствует циклу, полностью лежащему внутри Gj или G2, то
этот цикл может быть представлен с помощью направленных циклов внутри
относительно сильно связной компоненты. Следовательно, мы можем
предположить, что матрица 3 т не содержит представления любого такого
цикла. При этом остаются ориентированные циклы, проходящие как через Gj,
так и G2, и ясно, что они не являются направленными. Представление
каждого цикла этого типа содержит -1 по крайней мере в одном положении,
для которого в представлении в матрице Зт любого направленного цикла нет
не обращающегося в нуль элемента. Кроме того, такие элементы не могут все
аннулироваться другими ориентированными циклами, поскольку полный набор
циклов, представляемый столбцами матрицы 3т, является независимым.
Следовательно, поток Р(с) не может быть неотрицательным, если только веса
представлений всех циклов, проходящих через две или больше сильно связных
компонент, не обращаются в нуль. Таким образом, каждый неотрицательный
уравновешенный поток имеет представление, определяемое (19).
Предположение 4. Пусть G - граф, определенный, как в теореме 2. В таком
случае:
1. Если граф G - ациклический, то не существует строго неотрицательного
уравновешенного потока.
2. Существует положительный уравновешенный поток, если и только если
каждая компонента Ga графа G является сильно связной.
Глобальная динамика реакционных систем
341
Доказательства п. 1 и части "только если" п. 2 следуют непосредственно из
теоремы 2. Часть "если" п. 2 следует из того факта, что Ga - сильно
связная" компонента, если и только если имеется замкнутая
последовательность направленных ребер, содержащая все ребра компоненты
Ga. Ясно, что предположение 4 может быть использовано для определения,
когда ^ - пустое множество, ио в ием не утверждается о существовании
стационарного состояния, при котором поток уравновешен. Существует оно
или нет, будет зависеть, естественно, от функций скорости Р, (с).
Потоки, соответствующие стационарным состояниям в ,У^, содержат
разделяющие множества и, возможно, также циклы, и поэтому P(cs) имеет
представление, приведенное в (6). Конечно, ^2 = = ф, если Л\р)тП =
(0), т. е. когда 5 = 0, но это условие
можно в значительной степени уточнить. Более сильным необходимым условием
существования стационарного состояния с cs е /2 является
Л{у) П {[у 6 С0\у = (ft, г е С,, г ^ 0) - {0}) Ф ф.
Легко построить примеры, в которых 5 > 0, но Уг = ф, поскольку это
условие нарушается [15].
Указанное выше ведет к общему алгоритму, который может быть использован
для проверки, имеет или же нет система какие-либо стационарные состояния
[15]. В этом алгоритме помимо приведенных здесь имеются тесты для
применения к каждой компоненте Ga отдельно.
3. ВЕРШИННО-УПРАВЛЯЕМЫЕ СЕТИ
3.1. ПОСТОЯННЫЕ ВХОДНЫЕ потоки
Как было показано в предыдущем разделе, то, что некоторые типы
стационарных состояний не существуют, может являться следствием свойств
графа и стехиометрии, но, когда нет положительных инвариантов,
существование стационарных состояний не может быть установлено, не зная
зависимости Р,(с) от с. В этом разделе мы приведем некоторые результаты
для класса сетей, которые называются вершинно-управляемыми. В этих
системах поток через i-e ребро зависит только от концентрации вещества в
реакционном комплексе, соответствующем этому ребру. Так, например, если
ребро (/,, /2) помечено г, то dP,/dCj = 0, при условии что j не является
