Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Кинг Р. -> "Химические приложения топологии и теории графов " -> 134

Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.

Кинг Р. Химические приложения топологии и теории графов — М.: Мир, 1987. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): himicheskieprilojeniya1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 216 >> Следующая

индексом вещества в C(i\). Этот класс, конечно,
342
X. Отмер
включает идеальную кинетику действующих масс, но все же является более
общим. В некоторых особых случаях может быть полностью определена
глобальная динамика, но для описания таких случаев мы должны прежде всего
ввести некоторую терминологию.
Рассмотрим реальную автономную систему обычных дифференциальных уравнений
dx/dt = f(x), (20)
где х е М с Rn и/ - это С1. Так как (20) может описывать эволюцию системы
на симплексе П(с0) во внутренних координатах, то мы допускаем, что М
является любым подмножеством Rn. Если х*(() - решение при / ^ 0, то
говорят, чтоя* - глобально асимптотически устойчивое решение, при условии
что, когда x(t) является решением (20) для малых величин t, х(С)
существует для всех С > 0 и х(г) - х*('() - 0 при t - оо. Предположим,
что 0(t, х0) - решение системы (20), проходящее через хп при ( = 0, и что
оно хорошо определено для всех t е R +. Тогда ф: М х R + - М
характеризует гладкое отображение, называемое полупотоком, определяемым
(20). Решение x*(t) е S с Rn глобально асимптотически устойчиво
относительно S, если 0(f, х0) -¦ х* при г - оо для всех х0 е S. Например,
если/(х) = Ах, где А - постоянная матрица, то Ф((, х0) = ехр (А()х0 и
х*(/) = 0 является глобально асимптотически устойчивым решением
относительно Rn.
Якобиан фх удовлетворяет линейному вариационному уравнению
~фх=/х(ф(1,х0))фх (21)
и формула Лиувилля - Якоби показывает, что
/(О з det (0(t, х0)) = ехр A trace/х(0(5, x0))ds
•'о
Таким образом, поток уменьшает объем в областях фазового пространства,
где дивергенция отрицательна, и если она отрицательна повсюду в М, то
решения должны аппроксимировать некоторое множество более низкой
размерности при t -¦ оо. Это множество может состоять только из
стационарных состояний и периодических орбит или может иметь намного
более сложную структуру, как в случае уравнений Лоренца [10]. Таким
образом, строгая отрицательность дивергенции не является достаточной,
чтобы гарантировать сходимость к стационарному состоянию. Необходимы
более строгие условия, такие, как определяемое следующей леммой свойство
монотонности.
Глобальная динамика реакционных систем
343
Лемма [5]. Пусть/(х) будет С1 для всех х, и пусть f(x0) = 0. Пусть Н -
вещественная, постоянная, симметричная, положительно определенная
матрица, и пусть якобиан Df(x) обладает таким свойством, что < HDf(x)y,
у) < 0 для х Ф х0 и все у Ф 0. В таком случае решение x(t) = х0 уравнения
(20) является глобально асимптотически устойчивым. В частности,/(х) Ф 0
для д: Ф х0.
Поскольку во внутреннее произведение дает вклад только симметричная часть
(HDf(x)Y = (HDf(x) + (HDf (х))т)/2, решение х0 глобально асимптотически
устойчиво, если (HDf(x)f отрицательно определен повсюду в фазовом
пространстве. Это очень строгое требование, и более общие результаты
приведены в следующих теоремах. В дальнейшем каждая реакционная система
будет иметь р комплексов, q компонент и г реакций.
Вершина К- называется стоком, если ее полустепень исхода равна нулю. Если
имеются явные входные потоки, скорость которых постоянна, а вещества в
стоке не расходуются где-то еще в сети, то их концентрация будет
увеличиваться и стационарное состояние будет отсутствовать. Для
рассмотрения таких случаев либо вводят фиктивные реакции, в ходе которых
эти вещества расходуются, либо просто устанавливают их концентрацию
фиксированной. Последнее условие превращает комплексы стока в нуль-
комплексы, и если все нуль-комплексы идентифицируются как обычно,
связность лежащего в основе графа может изменяться. Однако, если
отсутствует обратная связь от этих веществ к другим точкам в сети,
фиксация их концентрации не влияет на динамику остальных веществ. В
дальнейшем мы будем полагать, что это выполняется повсюду, где
необходимо.
Теорема 3. Пусть G - граф вершинно-управляемой сети по крайней мере с
одним ненулевым постоянным явным входным потоком и с одним стоком.
Предположим, что:
1. Каждый не-нуль-комплекс содержит точно одно вещество, концентрация
которого зависит от времени, и эти комплексы линейно-независимы.
2. Имеется направленная цепь к стоку через каждую вершину Vl.
3. Р,(с) являются неотрицательными, строго монотонно увеличивающимися
функциями, такими, что />•(0) = 0 и Р',(с) ^ е > 0 для всех с, ^ 0.
Тогда___
1. /?"+ - инвариант при полупотоке (20).
2. /, = /2 = 0 и 5 = 0.
3. Стационарное состояние является единственным и глобально
асимптотически устойчивым в .
344
X. Отмер
Доказательства пп. 1 и 2 просты. Чтобы показать, что имеется по крайней
мере одно стационарное состояние, построим компактное множество,
инвариантное при полупотоке. Доказательство единственности и глобальной
устойчивости в значительной степени основывается на неотрицательности
результата преобразования якобиана v6'P(c). Подробности доказательства
этой теоремы и следствия из нее будут приведены в другой работе.
Требование того, чтобы производные Р, были ограничены вдали от нуля, в
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 216 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed