Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
тогда (<fg) = 0, так как в подграфе G, нет ребер, инци-
* Соответственно группами нульмерных и одномерных цепей графа G, см.
[26*]. - Прим. перев.
* * По само*, определению отображение <? есть гомоморфизм групп. - Прим.
перев.
'** Здесь и в дальнейшем р(А), (А) и V{A) обозначают соответственно ранг,
множество значений и нуль-пространство матрицы А. Размерность векторного
пространства V обозначается как dim V.
330
X. Отмер
дентных вершине V . С другой стороны, если V} е G, и ребро Ек инцидентно
вершине VJt то fjk = ±1 в зависимости от того, входит или исходит ребро
Ек из вершины Vj. Поскольку каждая вершина Vj е Gy имеет точно два ребра,
инцидентные ей, легко видеть, что для таких вершин (?g\ также обращается
в нуль. Следовательно, если g представляет ориентированный цикл, то это
1-цикл, и в результате имеем
^К)=° (3)
для каждой строки любой матрицы цикла. Это показывает, что с и
р($) ^ dim - г - р + q. Элементар-
ные соображения свидетельствуют, что строки матрицы lS порождают нуль-
пространство И, и поэтому г' = р(^) - г - р +
+ q. Любая замкнутая последовательность направленных ребер подграфа G2 С
G может быть записана как объединение направленных циклов в графе G, и
можно видеть, что последние представляются теми 1-циклами в С,, ненулевые
компоненты которых равны 1. Если граф G - сильно связный, то он должен
содержать один или больше направленных циклов, и легко видеть, что в этом
случае любой ориентированный цикл, не являющийся направленным, может быть
записан как симметричная разность двух направленных циклов.
Следовательно, всякий раз, когда граф G - сильно связный, для может быть
выбран базис {е1}, такой, что е' ^ 0 *.
Подграф Т с G0 является деревом, если он связный и ациклический, и
остовным деревом, если он - дерево, содержащее все вершины, имеющиеся в
графе G0. Если G0 - дерево, то любые две вершины связаны единственной
цепью и г - р - 1.
Коцикл графа G0 - это минимальное множество ребер, удаление которых
увеличивает число компонент на единицу. Каждое ребро дерева является
коциклом как множество ребер, инцидентных вершине. Коцикл или объединение
коциклов с различными ребрами называется разделяющим множеством, и
ориентированное разделяющее множество графа G является разделяющим
множеством графа G0 с ориентацией, определенной следующим образом. Если
V1 и V2 - непересекающиеся подмножества, на которые разбивается V
разделяющим множеством, то ориентация разделяющего множества определяется
порядком подмножеств как (К1, V2) или (V2, К1). Матрица разделяющего
множества JS направленного графа G
* Для любого вектора и и ^ 0 означает, что каждая компонента
неотрицательна и по крайней мере одна положительна; и г 0 означает, что
все компоненты могут быть равны нулю, а и > 0 - что все компоненты
положительны.
Глобальная динамика реакционных систем
331
?
и
является матрицей 5 х р, полученной при следующем определении:
/ +1, если ребро ?, входит в разделяющее множество / и ориентации
разделяющего множества и ребра совпадают,
- 1, если ребро Е} принадлежит разделяющему множеству / и ориентации
разделяющего множества и ребра . противоположны,
О в остальных случаях.
Размерность строки матрицы U является числом непустых ориентированных
разделяющих множеств, равным ? = 2Р - \.
Однако не все эти множества являются независимыми, и легко видеть, что
ориентация р разделяющих множеств, изолирующих единственную вершину,
может быть выбрана таким образом, что матрица инцидентности / будет
субматрицей ?>. Следовательно, 2 ^40" и поэтому p(i?) ^ p(f ), но,
поскольку любое разделяющее множество может быть записано исходя из
разделяющих множеств, изолирующих отдельную вершину, равенство
выполняется в обоих случаях. Из равенства (3) следует, что
для каждой строки любой матрицы цикла. В дальнейшем
будет обозначать матрицу разделяющего множества, в которой строки
линейно-независимы, и, таким образом, s' будет равно р - ~ Q-
Пусть "'*'" обозначает двойственное пространство: Rr. - пространство
строк матрицы & и Rs - пространство строк матрицы
Как Rs", так и Rr, могут быть отождествлены с подпространствами группы
цепей размерности р - q я г - р + q. Они называются соответственно
подпространствами разделяющего множества и цикла и, согласно равенству
(4), являются ортогональными в случае евклидова внутреннего произведения.
Если мы отождествим обычным путем каждое пространство с двойственным ему
пространством, то получим ортогональные разложения
С, = ^(ST),
с о = = .г{у)(r)^>{ут), (5>
R" = °J(v)(r),A{vT).
Конечно, мы можем рассматривать v как однозначное отображе-
332
X. Отмер
ние из С, в Rn, и эта точка зрения ведет к следующим разложениям:
С, = J\v<T)(r)&((v?)T)t R" =
При обычном рассмотрении кинетикй, в сущности, имеют дело лишь с
последними разложениями, но существуют серьезные причины для факторизации
отображения v? при помощи С0.
Поток на графе G является функцией, принимающей действительные значения
