Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Кинг Р. -> "Химические приложения топологии и теории графов " -> 124

Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.

Кинг Р. Химические приложения топологии и теории графов — М.: Мир, 1987. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): himicheskieprilojeniya1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 216 >> Следующая

подобно тому, как это сделано на рис. 10. Следует отметить связь между
рис. 9 и мёбиусовским перекрыванием, показанным на рис. 6. В &2 (рис. 9)
2т-оборот от точки Р на листе S, приводит к достижению точки Р' на листе
S2> и> Для того чтобы вернуться в прежнюю точку Р, необходимо выполнить
второй 27г-оборот. Аналогично 2т-оборот мёбиусовского цикла (рис.' 6) от
лопасти а через последовательно смежные лопасти /7-орбиталей приводит к
лопасти Ь, а возвращение из b в а обеспечивается вторым 2т-оборотом.
4. ВЫВОДЫ
В приведенном выше обсуждении нами подчеркнуто, что можно рассматривать
матрицу четности смежности M(G) графа G, представляющего мёбиусовскую
систему, как матрицу смежности
Использование римановых поверхностей
319
A (G') планарного графа G' и что граф G' является реберновзвешенной
точной копией графа G. Для такой матрицы смежности A(G') при
необходимости может быть использована теорема Сакса [14, 20, 21] с целью
определения характеристического полинома рс(х) и/или (по методу,
изложенному в работе [14]) его отдельных коэффициентов. Таким, по сути,
был и подход Граовача и Тринай-стича [5]. Для того чтобы выделить
концептуальные преимущества предлагаемого в этой статье метода
рассмотрения мёбиусовских систем, отметим следующее:
1. Мёбиусовские молекулы могут быть представлены мёбиусов-скими графами.
2. Мёбиусовские графы могут быть представлены в плоскости лишь в
результате введения некоторой произвольности, например весового
коэффициента одного из ребер, равного - 1 [5].
3. Поэтому мы должны выбирать между
а) произвольностью планарного представления и
б) нахождением метода графического представления, отражающего
топологический характер исходной системы.
Выбор, следовательно, состоит в том, чтобы либо принять прагматический
подход 3(a), ведущий к потере топологической целостности исходной
физической системы (это было идеей работы [5]), либо (такая попытка была
предпринята в настоящей статье) искать представление, сохраняющее эту
целостность, выбрав вариант 3(6). Существенной особенностью такого
представления является то, что екж' (= 1, когда к - 0, по модулю 4)
должно быть тождественным преобразованием. Это гарантирует, что
тождественность мёбиусовских структур при двойном цикле (см. рис. 6)
сохранится. Соответственно двойное, риманово многообразие .Й?2 является
простым и естественным выбором пространства представления, в котором
топологическая целостность мёбиусовских графов и молекул не нарушается.
Это служит нашим обоснованием предпочтения настоящего подхода по
сравнению с обычным [5] для графического представления мёбиусовских
молекул.
В заключение можно отметить, что, так как матрицы четности смежности (в
отличие от таких матриц для хюккелевских графов) содержат отрицательные
элементы, их собственные значения и собственные векторы, вообще говоря,
не обнаруживают известных характеристик, предсказываемых теорией Перрона
- Фробениуса для неотрицательных матриц [16], хотя, конечно, поскольку
матрица M(G) [= A(G')] вещественна и симметрична, все значения х, при
которых pG(x) обращается в нуль, вещественны. Одно из следствий
неприменимости теоремы Перрона - Фробениуса состо-
320
А. Дей, Р. Маллион, М. Ригби
ит в том, что наибольшее из этих вещественных собственных значений не
обязательно соответствует собственному вектору, в котором все элементы
имеют одинаковый знак. На языке молекулярных орбиталей Хюккеля это в свою
очередь означает, Что низшая по энергии связывающая молекулярная орбиталь
не обязательно будет безузловой. В частном случае [36] теорема Перрона -
Фро-бениуса, лучше известная химикам как теорема "парности" Коулсо-на -
Рашбрука [3], однако, все же применима к мёбиусовским графам, так как в
результате соответствующей разметки вершин двудольного графа G или G'
матрицы M(G) и A(G') могут быть приведены к требуемому блочному виду [26,
36]. (Это утверждение согласуется, например, с тем фактом, что "пары"
собственных значений могут быть различимы в опубликованном спектре
собственных значений мёбиусовского циклобутадиена [5, 7-9].)
Наконец, можно отметить, что, хотя у нас теперь и имеется общий метод для
рассмотрения графов, которые не могут быть адекватно представлены на
плоскости, рассмотрение римановых поверхностей &т, где т > 2, не является
с химической точки зрения необходимым, поскольку любое получаемое
собственное значение, чтобы иметь физический смысл, должно быть, конечно,
вещественным. Следовательно, не существует задачи с имеющими физический
смысл собственными значениями, которая будет приводить к графу,
требующему представления на &т, где т > 2.
Мы признательны London Borough of Harrow за финансовую помощь Р. Миллиону
и Governing Body of Christ Church (Оксфорд) за премию Research
Lecturership of The House, которой он удостоился. Эта работа была
выполнена в то время, когда М. Ригби и Р. Маллион были сотрудниками
Факультета теоретической химии Оксфордского университета, и мы
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 216 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed