Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
классам эквивалентности соединений, причем классы эквивалентности
определяются при утверждении, что все вещества в комплексе эквивалентны.
Ребра графа - реакции, и они связывают классы эквивалентности реагентов и
продуктов. Если граф является деревом, то в таком случае стационарные
состояния оказываются локально асимптотически устойчивыми. Эта теорема
частично распространена на необратимые сети при наличии подходящей модели
необратимых реакций (см. [2, 7, 8]).
3. Теорема 6.1 Фейнберга. Эта теорема доказывает, что М - однозначное и
правильное для некоторых сетей с дефицитом 1 (см.
[9]).
Три обсужденные здесь теоремы были включены в программы как функции
ZDTHM, KNOTTREENETTHM и FEINBERGTHMSIX. Выполнение этих трех теорем
проверяется функцией ALLTHMS. Попытаемся применить функцию ALLTHMS к
четырем сетям:
ALLTHMS Q*-NETV0RK1 X*Y Y-Z
V + V-X -V
-V
Теорема об узлах деревьев сети
KNOTTREENET. Локальная асимптотическая устойчивость для всех стационарных
состояний при условии, что все реакции обратимы или же для необратимых
реакций имеется подходящая модель. Теорема о нулевом дефиците
Теорема применима: нулевой дефицит и неслабо обратимая сеть. Следствия: М
- пустое множество.
Теорема 6.1 Фейнберга
Теорема не выполняется: сеть не является слабо обратимой.
Для такой сети М - пустое множество, но, если добавлены подходящие
обратимые реакции, М не было бы пустым и все М были бы локально
асимптотически устойчивы.
ALLTHMS Q^-NETVORK-2 2X-Y Y-2X X-
X
Y -- У
Качественная динамика и устойчивость систем
381
Теорема об узлах деревьев сети
KNOTTREENET. Локальная асимптотическая устойчивость для всех стационарных
состояний при условии, что все реакции обратимы или же для необратимых
реакций имеется подходящая модель. Теорема о нулевом дефиците Теорема не
выполняется: дефицит равен 1.
Теорема 6.1 Фейнберга
Теорема выполняется: М - правильное и однозначное.
М является правильным и однозначным. Все стационарные состояния локально
асимптотически устойчивы.
ALLTHHS Q^NETWORKZ X-Y*W ¦
W*Y-Z*V
v+z-x
Теорема об узлах деревьев сети
Теорема не выполняется: сеть не содержит деревьев с узлами. Теорема о
нулевом дефиците
Теорема применима: нулевой дефицит и слабо обратимая сеть. Следствия: М -
правильное, однозначное, глобально притягивающее.
Теорема 6.1 Фейнберга
Теорема применима: М - правильное и однозначное.
NETWORK*"
2А-В А*С-2С
В-2С A + D-E
2C-D F-A+D
В=А+С С*Е-2С
ALLTHMS NETWORKS
Теорема об узлах деревьев сети Теорема не выполняется: граф узла содержит
1-цикл.
Теорема о нулевом дефиците
Теорема не выполняется: дефицит равен 1.
Теорема 6.1 Фейнберга
Теорема выполняется: М - правильное и однозначное.
Эти примеры показывают, что каждая теорема может быть справедливой,
исключая другие. Ни одна из них не годится для сети ORGLI или любой сети,
имеющей, вероятно, интересную динамику.
В следующих трех разделах мы глубже рассмотрим вопросы, связанные со
случаем, когда стационарные состояния сети - однозначные, правильные и
глобально притягивающие.
В-2А 2С-А*С
2С-В E-F
D-2C A+D-F
А*С-В 2С-С+Е
382
Б. Кларк
8. БОЛЕЕ ГЛУБОКОЕ ОБСУЖДЕНИЕ
СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ И ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Пусть v - вектор, компоненты которого - скорости каждой реакции. Условие
для стационарного состояния:
NU-v = 0.
Согласно этому условию, у находится в правом нуль-пространстве матрицы
NU. Напомним, что обратные реакции рассматриваются отдельно. Таким
образом, никакая скорость не может быть отрицательной, и, следовательно,
решение, соответствующее условию для стационарного состояния, является
пересечением неотрицательного ортанта у-пространства и правого нуль-
пространства матрицы NU.
Это решение - выпуклый полиэдрический конус Cv. Любая точка конуса Cv
может быть представлена как "вьщуклая комбинация" ребер, являющаяся
линейной комбинацией векторов, направленных вдоль ребер конуса, лишь с
неотрицательными коэффициентами.
Векторы ребер образуют столбцы матрицы, рассчитываемой, исходя из матрицы
NU, с помощью функции CURRENTS. Построим орегонатор с обратимостью всех
реакций:
U^EORGLIREVt-CURRENTS ЫНORGLIREV
01000110000 10100000010 10010100000 00000111000 10001100000 01000000011
00100010100 0 ,0 01001)0101 0 'о 000001011 00001000101
Строки матрицы EORGLIREV соответствуют реакциям, а столбцы - ребрам.
Каждый столбец - вектор скорости реакции в стационарном состоянии, у-
Векторы стационарных состояний называются "токами". Столбцы матрицы
EORGLIREV - "экстремальные токи".
Ненулевые элементы каждого столбца обозначают реакции "экстремальной
подсети". Такие подсети различаются наличием стационарного состояния
только в том случае, когда их скорости реакций связаны одним набором
соотношений. Эти соотношения дают ненулевые элементы столбца матрицы
EORGLIREV. Функ-
Качественная динамика и устойчивость систем
383
ция CRNTRX выявляет реакции экстремальных подсетей, соответствующие
каждому экстремальному току сети ORGLI. Относительные скорости реакций
