Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
dlijdt = — 2а?, + 6#, (|„ |2, 9„ O2, 6) dbjdt = - 2а|2 + 6<Я, (|„ І,, Є„ O2, 6) ^/ = 60,(1,,^,6,,0,,6) ( • '
dQJdi = - р + 6G2(I,, I2, O1, O2, Ь)
где в = 0, — O2. Когда б достаточно мало, O2— монотонно убывающая функция времени, н в этих уравнениях мы можем заменить / па O2, В результате получается неавтономная система в виде, удобном для усреднения по O2. Усредненная система такова:
de/d02 = 60 (Є)
где 0(6) = -^-,^0,(0, О, O1, O2, O)rf02, ,, >:о.-к..о убедиться, что UQiM2 = 5(0" + °и> sin в (1.67)
Теорема об усреднении [430] утверждает, что для достаточно малого 6 > 0 стационарная точка уравнения (1.67) соответствует периодическим решениям уравнений (1.66) н устойчивость этих решений совпадает с устойчивостью стационарной точки усредненной системы (1.67). Стационарными точками уравнения (1.67) при 6>0 являются e=0(mod2.i) и e=.i(inod2-i),
ft
Рнс 19 Диаграмма .следующей фазі,.» для потока на Т* при малых б. „.-линейная снял.', о - линейная и кубичная связь.
її если Ь,, +б.» > 0, первая us них асимптотически устойчива, а'вторая неустойчива. Таким образом, линейная связь с 6 >0 выделяет в 'точности две орбиты из однопараметрического семейства, существующего при 6 = 0. Одна из них (назовем ее B0) лежит'на О п соответствует асимптотически устойчивым синхронным колебаниям, в то время как другая (назовем ее ил) лежит на Д и соответствует неустойчивым псенпфазиым колебаниям. Если мы будем откладывать разность фаз Г2 при последовательных пересечениях поверхности 92 = 0, то получим диаграмму «следующей фазы», представленную на рис. 1.9, а.
Конечно, возникает вопрос, будет лп связь другого вида выделять другие периодические орбиты из однопараметрического семейства, которое имеется при 6 = 0. Можно показать, что если уравнения в нормальной форме содержат линейные и кубичные ч.трпы, то усредненное уравнение для связанной системы будет иметь следующий вид:
rfe/rfe, = Re {у, - у2 cos 6} sin в
Здесь у, и у2 — комплексные константы, которые обращаются в нуль, когда 6 обращается в нуль, н которые могут быть выражены через коэффициенты связи. Очевидно, что 0 = 0(mod 2л) о e7Zn'mod2n) опятЬ являются решениями, однако если Kevi/Rev2< 1, то имеется еще одна пара решений, даваемая выражениями в, = сиг" (Re V]/Re у,) „ в; = 2я - в' Эти два решеиня лежат между в = 0 и в = Я „ их устойчивость проти-nnnvnT1" >'СТ01™ШОС™ Решений первой пары. Таким образом,
востп пот и, Г ТЫ коэФФ»'Г''™в можно добиться устойчивости решении в 0 и и л (рнс. 1.9 б)
асммпто?,,ч^1,,"Т,Ь' Ч.Т0 "Ряжение решения оь существует и m.™' ^ Устойчиво при всех 6>0. Однако поведение <¦>.-, при возрастании « сложнее. Покажем вначале, что
продолжение гл л существует для 6 є [О, Ь), где 6=min(u/2 р/2), а затем исследуем его устойчивость. Введем для этой цели координаты щ =(х, + X2) /2, U1 = (х, — X2) /2, ui=(y, + + (/2)/2, V2 = (tji — U2)/2 и для простоты примем А, = 6 для всех /' її /. Тогда соответствующие уравнения будут иметь вид
(//Z1
Т7Г ~<7Г "rfT
ClI
-- UU1 + JiV1 — и] — ¦Au1Ii] — », (v\ + v'2) — 2U1V2U,, = — Ph1 + аи, — v'\ — 3vtv2 — V1 (и\ + ul) — 2u,u,v2 -- (а - 26) U2 + (P - 26) v., -и\- W1U2 - (1 M)
¦ її-, (v\ + vi) — 2V1V2U1
-- — (P + 26) U2 + (а- 26) о. - vl - Sv2V2 -— V2(Ii- + uf) — 2U1U2V1
В этих координатах Ц — это подпространство U1 = О, V1 = О, п уравнения на Д, записанные в полярных координатах, имеют вид
dr/dt = (а - 26 - 26 sin 29) г - г3
(/Є/rf/ = — P — 26 cos 26 (1.69)
Если 6< пііп(а/2, 6*), где 6*= (а2 + р2)/4а, то для (1.69) существует инвариантная кривая Г, уравнение которой задается выражением
(0-26)(1-?') ' v> 1 + k cos 2 [Є (O - ?1
Константы ft н (j определяются следующим образом:
26
V(a - 26)2 + P2
Уравнение для угла (1.69) не содержит г, н когда 6 є JO, р/2), то 0 < 0. Поэтому 6(/) ->—00 при /-»- + оо. При 6 = 8/2 уравнение для угла имеет стационарные точки 6= (2/+ 1)я/2 при всех / ts Z, а при 6 > р/2 имеются стационарные точки при Qf, где (2/— 1)я/2 <ЄГ" <ef < (2/+ 1)я/2. Так как при 6 = 0 Г превращается в г2 = а, то из этого следует, что продолженщ мл существует при всех бен [0, 6), п нетрудно показать, что при этих б оно глобально притягивающее на И \ {0, 0,0,0}. Когда р<а и 6 = Р/2, в точках 6= л/2 и 0 = Зл/2 на Г появляется пара стационарных точек типа седло — узел, и при S < р/2 они расщепляются на две пары седло — сток (по от-ношешпо к Ц). Период решений U)1 равен Г = 2л/у P 2 — 462
її он ухочнт и бесконечность, когда б приближается к (1/2 снизу Изменения потока на П при увеличении б показаны на рпс. 1.10. Когда (J > a, ш.п исчезает через обычную бнфу1)КіІ. цню Хопфа при (S = а/2.
Устойчивость Юл как орбиты в четырехмерном пространстве --.......- л'"......"...... " "41111.•1IHHiV связанные с (1.68)
установить сложнее. Уравнения в вариациях расщепляются на пару двумерных систем чго coornciTiTieiiiio Ki(I) и Ki(I) — 2D, где
Л', (!)
-[
матрицы которых-
и — 2г ~ г cos 20 (J — г2 sin 20 1 — (J — г sin 20 a — 2r2 + г2 cos 20 J
