Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. Динамика связанных осцилляторов 1.3.1. Вынужденные колебания
Многие задачи в химии и физике приводят к моделям, которые состоят из связанных подсистем, и хотя уравнения, описывающие такие системы, принадлежат к общему виду, который рассматривался выше, выгодно учитывать, что они описывают составные системы. Простейшая задача связана с изучением двух подсистем, эволюция одной из которых определяется состоянием другой, но не наоборот. Соответствующие уравнения будут нмегь вид
dxjdt = / (к) + 6F (у), dy/dt = G(y) (1.58,1.59)
где х, у є Rn и б є R+. Если х-уравнение имеет асимптотически устойчивое Г-периодпческое решение у (0, а (/-уравнение имеет глобально устойчивую стационарную точку при 6 = 0, то при определенных предположениях о виде f(x) и F(у) теорема 6 Кронина [188] утверждает, что связанная система не имеет периодических решений. Другими словами, добавление вынуждающего члена 5F(y) подавляет колебания в х-енстеме. С другой стороны, если (1.59) имеет глобально притягивающее периодическое решение периода 2я, то вынуждающий член в уравнении (1.58) асимптотически 2л-пернодпчеп, н без большой потери общности мы можем рассмотреть систему
dx/dl = f(x) + 6g(i) (1.60)
где g — 2я-периодпческая функция. Эта классическая задача о вынужденных колебаниях рассматривается в гл. 9. В теореме2 мы описали класс сетей, для которых имеется глобально притягивающая стационарная точка и которые всегда синхронизируются частотой внешнего воздействия, когда на них действует периодическая сила. Тот факт, что в указанном случае нет ограничений на амплитуду вынуждающей силы, объясняется очень сильной устойчивостью стационарной точки в таких сетях; однако этого пет в общем случае. Тем не менее можно ожидать, что периодические возмущения стационарной точки с малой амплитудой будут приводить к малоамплитудпым периодическим решениям. Так как имеется взаимосвязь между тем, что было описано и разд. 1.2.3, и тем, о чем говорится в последующих разделах, проследим здесь за ней вкратце.
Предположим, что в (1.60) я = 2. Тогда решение <р(/, хл) порождает отображение t6: R2^-R2, определенное как t4(.v0) = = <р'2я, .v0) при любом ftefe. Неподвижные точки отображения x4-это 2л-периодическмс решения уравнения (1.60). Если для уравнения /(.ї) = 0 существует гиперболическое решение при X*, то t0 имеет в х* гиперболическую И О ПО щи ж нею тнчку H
3 Зпк 628
, uunnrt rhviiKiiiui Тл имеет вблизи х* единственную
едино ні ни і і 6 = 0. Однако при наличии нозму-
^Г^пГ'може/'оы", еовер,пенпо 'пным, еелн (..6O5) м-ет нон б = 0 устойчивое периодическое решение у (г). Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр M0 в пространстве V- I, а если отождествить последовательные сечения в моменты времени, отличающиеся на 2л, то притягивающий инвариантный тор —это ТІ Ожидается, что при малых S вблизи M0 существует инвариантный цилиндр M4 п, следовательно, вблизи 7І— инвариантная поверхность T6, Данное утверждение было прямо доказано Левпнсоном [595], однако оно также следует из того факта, что 7'» имеет гиперболическую структуру и, таким образом, сохраняется при малых возмущениях [293]. Дифференциальное уравнение на торе 7? можно записать в виде
,ів/сіt = to + 64f (0, to, 6) (1.61)
где 0 = (Q1, Q2) — это координаты на 7'о, a to = (to,, to,) = (2я/Т, 1) — вектор частот. При 6 = 0 получается система, представленная н примере 1, из которого мы знаем, что все решения периодичны, если 2л/7' рационально, ц что все орбиты плотны на T0, если это отношение иррационально. Вопрос состоит в том, что происходит с этими решениями, если 6 > 0. В общем случае континуум периодических точек при рациональном отношении частот в точке 6 = 0 будет вырождаться в конечное число пар периодических орбит седло—сток при достаточно малых 6 > 0. Действительно, Плнсс [784] показал, что поток па торе структурно-устойчив тогда в только тогда, когда число вращения рационально н периодические решения гиперболичны. Таким образом, большая часть 2л-псрнодических возмущений будет приводить к периодическим решениям с периодом, равным нескольким единицам Іакое явление называется синхронизацией. Более ITur, "и™ сУществУет в->0. Для которого число вращения Z,,П " °Р Та П1Г1°1>боличпа, то из теоремы о неявной
t тепТ^СЛСДУеТ- ЧТ° число вР»Щеиия постоянно на открытом интервале, содержащем б,.
С другой стороны, если число вращения близко к иррацио-ависнмымнТс "а П ЧДСТ кв«иперноЛ„ческ..м с двумя пени" Г и1Гаш6п1°/ЧНш^74 С0ПРЯЖЄП0 С Вра'Ц"-такие, что ' Є 1Х Z существуют С, с > 0.
I "'P (^) - /1 > С/1 n |'+e (L62)
то ноток на Ti квазппериодичен [535, 459]. Большая часть чисел, не удовлетворяющих этому соотношению, имеет меру Лебега, равную нулю. Кроме того, теорема Эрмана [459] утверждает, что если р (Ft1) ф р (Ft1), то множество значений параметра б, лежащих между б| и б2, для которых выполнено условие (1.62), имеет положительную меру Лебега на отрезке [6Ь б2].
Эволюция инвариантных торов при увеличении 6 до сих пор изучена слабо. Картрайт и Лнттлвуд [153, 594] обнаружили, что в тех уравнениях, которые они исследовали, существуют определенные значения параметра, при которых решения с различными периодами сосуществуют. Это означает, что инвариантное многообразие не является гладким тором. В работе Ароисоиа и сотр. [28] дается более полная картина того, как может происходить такая потеря устойчивости. Эти вопросы изучались в приложении к задаче о релаксационных колебаниях на уравнениях типа Ван-дер-Поля в работе [593].