Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мультипликаторы матрицы вость по отношению к Д. и,
Ki (і)— 2D определяют устойчи-как мы отмечали ранее, шл на IJ
о s S с р/г
Математические вопросы исследования колебаний
устойчива. Из формулы Лиувилля — Якоби получаем ние для мультипликаторов X1 и X2 матрицы Ki{t):
выраже-
In (X1X2) = 2 j [а - 2r* W] dt = (1 J0)
Таким образом, когда б == 4а, ЯА2 = 1, и когда они комплексны, то должны лежать на единичной окружности. Без потери общности будем далее полагать <х=1. Численный расчет мультипликаторов вдоль линии 6=1/4 показывает, что существует по меньшей мере два интервала величины р, внутри которых Xi = X2. Когда р проходит каждый из этих интервалов в сторону увеличения, то мультипликаторы садятся на единичную окружность при X=I, проходят окружность до X = —1, а затем обратно до X = 1 и покидают ее при A=I. Таким образом, мультипликаторы принимают каждое из значений единичной окружности по крайней мере для одного из значений р на каждом таком интервале. Если р фиксировано по величине на одном из этих интервалов, а б становится больше 1/4, то при 6= = 1/4 мультипликаторы сходят с единичной окружности. Из {1.7O) следует, что условие теоремы 10 о трансверсальности удовлетворяется и поэтому, когда б пересекает значение 1/4, от периодического решения ответвляется инвариантный тор. Мы не можем вычислить g3 аналитически, а численные расчеты не дают однозначных указании относительно направления бифуркации и устойчивости бпфурццрующего тора.
Численные расчеты показывают также, что при р, фиксированном вблизи 1/2, имеется несколько интервалов б, на которых сод асимптотически устойчиво как решение четырехмерной системы. Более того, как показано на рис. 1.11, эти острова устойчивости связаны с интервалами бифуркации Хопфа при б.= = 1/4. Таким образом, имеются малые области параметрического пространства, в которых связь стабилизирует несннфаз-пые колебания, и в этих областях имеется по крайней мере по два периодических решения.
На множестве решений этой системы имеется гораздо больше структур по сравнению с тем, что мы здесь описали. Например, вблизи границ островов устойчивости происходит несколько бифуркации удвоения периода, п взаимодействие между шл и другими периодическими решениями, о которых известно, что они существуют, в настоящее время еще не понято полностью. Когда б > р/2, от неподвижных точек, возникших на г при 6 = Р/2, ответвляются другие неподвижные точки, и в свою очередь на этих точках происходят бифуркации Хопфа. За дальнейшими деталями заинтересованный читатель отсылается к литературе, цитированной выше.
іЛіс. 1.11. Плоскость (ї~б при а = 1, на которой показаны острова устойчивости; <оя устойчиво и заштрихованных областях.
Как было сказано вначале, нашей цел ню было обсуждение некоторых ,!тематических методо», которые могут псш)ль:юватьсм, при анализе реакционных систем. Основное внимание было сосредоточено на идеально перемешиваемых системах я обыкновенных дифференциальных уравнениях, которые описывают их эволюцию. В этих рамках мы предпочли рассмотреть небольшое число вопросов более детально. В результате многие темы, имеющие отношение к данному предмету, не были упомянуты. Некоторые из них обсуждаются в других главах настоящей книги, и особенности те, которые относятся к анализу химических систем. Читатели, желающие шире п глубже изучить математические аспекты, могут обратиться к статьям и книгам [2, 166, •1^O, 483, 690].
Іірії.ма'їньїе химические осцилляторы 1710J сшрали решающую роль и развитии исследований колебательных химических реакций в растворе. Открытие Белоусовым (см. «Приложение»; [71. 72]) первой реакции из этого класса — окисление и бромирова-мпе лимонной кислоты броматом в ~ IM H2SO4, катализируемое церием, — ознаменовало начало новой эры исследований в этой области. Эта н родственные ей системы называются теперь реакцией Белоусова—Жаботинского (БЖ) [1039, 1040]. В ней наблюдаются, как показано на рис. 2.1, колебания ре-
кже-потенцпала, а также потенциала, измеряемого бромид-се-
!ектпвным электродом [707, 708, 345].
Разработка разумного и хорошо обоснованного механизма реакции БЖ Филдом, Кёрёшем и Нойесом [296] обеспечила основу для экспериментального и теоретического исследования броматных химических осцилляторов. Этот механизм обычно называют по инициалам авторов механизмом ФКН. Со времени этой ранней работы реакцию БЖ исследовали с привлечением немалого числа экспериментальных методов, н было открыто большое число вариантов классической реакции БЖ. Многие из них являются результатом простой замены: катализатор —
Время.с
Рис. 2.1. Типичные колебания а реакции Белоусова—Жаботинского. Потем-шюметрическая регистрация Ig[Br") и Ig [Ce (I V)l/|Ce(IH)l. Начальные концентрации: ICH2 (COOHhI0 = 0,032М, [KBrO3I0 = 0.063.4. [KBr]0 = 1,5-IO М. ICe CNH4)J (N03)5|o = 0.001М, [H2SO4I0 = 0,8М [296].
экспериментальные характеристики и механизм химических колебании
и бегущих волн в закрытых системах
нл основе: ьиоматл
Р. ФилО
